陶哲軒挑戰(zhàn)失敗的百年數(shù)學(xué)問題，被兩名在家隔離的數(shù)學(xué)家破解了

魚羊 白交 發(fā)自 凹非寺
量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI

疫情期間，有人困在家里把每塊地磚都數(shù)了個(gè)遍，有人閑得把地板摳出了三室一廳。

來(lái)自英國(guó)杜倫大學(xué)的Andrew Lobb，和波士頓學(xué)院的Joshua Greene這兩位數(shù)學(xué)家，同樣面臨了這樣的窘?jīng)r。

上班是沒法兒上班了，在家實(shí)在閑得無(wú)聊，他們只好翻了翻手里積攢的一堆數(shù)學(xué)問題，挑出了其中看上去最沒有前途的一個(gè)——連陶哲軒都沒有解決：

任何簡(jiǎn)單閉合環(huán)路，是否總能在其上找到四個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)任意長(zhǎng)寬比矩形？

誰(shuí)曾想，幾番視頻連線在線腦暴之下，他們還真就解決了這個(gè)誕生于1911年的古老數(shù)學(xué)難題。

論文一共6頁(yè)紙。

當(dāng)他們把證明結(jié)果發(fā)表出來(lái)，布朗大學(xué)數(shù)學(xué)家Richard Schwartz贊嘆：萬(wàn)萬(wàn)沒想到，解決此問題的正確方式是這樣的。

內(nèi)接方形問題

這個(gè)問題，被稱為內(nèi)接方形問題（或方形釘問題），源自1911年，妥妥的「百年老題」。

當(dāng)時(shí)，德國(guó)數(shù)學(xué)家Otto Toeplitz預(yù)測(cè)稱，任何簡(jiǎn)單閉合曲線，都包含四個(gè)可以連接形成正方形的點(diǎn)。

聽上去像是個(gè)高中生能用尺子解決的問題。

可一百多年過(guò)去了，太多數(shù)學(xué)家前赴后繼，一直也沒能最終證明這個(gè)猜想。

華盛頓與李大學(xué)助理教授Elizabeth Denne感嘆稱：「這個(gè)問題說(shuō)出來(lái)很容易，也很容易理解，但想要證明真的很難?！?/p>

但在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們給出的解題思路，也成為后繼者實(shí)現(xiàn)突破的階梯。

用莫比烏斯帶解內(nèi)接矩形問題

在1977年，數(shù)學(xué)家Herbert Vaughan首先在內(nèi)接矩形問題上取得了突破，開創(chuàng)了一種思考矩形的幾何形狀的新思路。

證明方法大致如下。

首先，不把矩形看成四個(gè)相連的點(diǎn)，而是將其視作兩對(duì)相互之間具有特定關(guān)系的點(diǎn)。

AC、BD這兩對(duì)點(diǎn)之間，擁有共同的中點(diǎn)，并且AC = BD。

也就是說(shuō)，只要證明對(duì)于任意閉合環(huán)路，都能找到滿足以上條件的兩對(duì)不同的點(diǎn)，就能證明這樣的曲線中矩形總是存在的。

而通過(guò)這樣一個(gè)函數(shù)：f(A, B) = （x, y, z），就相當(dāng)于能把一對(duì)點(diǎn)的中點(diǎn)和距離信息編碼出來(lái)。

△截自3Blue1Brown視頻

我們?cè)谥悬c(diǎn)畫一個(gè)垂直于曲線平面的線段，線段長(zhǎng)度等于兩點(diǎn)之間的距離。

這樣一來(lái)，曲線內(nèi)所有的點(diǎn)對(duì)就會(huì)構(gòu)成一個(gè)曲面。這一曲面以環(huán)路為底，并且連續(xù)。

那么，問題就變成了，如果這一曲面上存在交點(diǎn)，那必然是兩對(duì)點(diǎn)中點(diǎn)相同，而且這兩對(duì)點(diǎn)組成的兩個(gè)連線長(zhǎng)度相同。

這不就是矩形兩條對(duì)角線交點(diǎn)的性質(zhì)嗎？由此就能證明矩形存在。

Herbert Vaughan 發(fā)現(xiàn)，如果你在曲線上取一對(duì)點(diǎn)（x, y）并對(duì)其進(jìn)行繪制，將會(huì)得到一個(gè)令人驚訝的形狀：莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶長(zhǎng)這樣，一個(gè)沒有正反面的二維神奇帶子。

要不，你試試找一下正面？（手動(dòng)狗頭）

言歸正傳，也就是說(shuō)，莫比烏斯帶上的一點(diǎn)和曲線上的一對(duì)點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

△圖源：QuantaMagazine

這時(shí)候，再把莫比烏斯帶映射到 f(A, B) = （x, y, z）構(gòu)成的三維曲面上。莫比烏斯帶的邊界就對(duì)應(yīng)著平面上的環(huán)路。

而莫比烏斯帶扭曲的特殊形狀，決定了如果將其邊界拍平放到二維平面中，自身必定會(huì)相交。

這也就證明了，確實(shí)有兩對(duì)不同的點(diǎn)，被映射到了三維曲面的同一點(diǎn)上。

至此，證明完畢，在三維空間中，任何閉合環(huán)路中，都至少存在這樣四個(gè)點(diǎn)，能夠構(gòu)成一個(gè)矩形。

陶哲軒：用積分方法解決特定情況下的內(nèi)接方形問題

另一位數(shù)學(xué)天才陶哲軒，則在這個(gè)問題上更進(jìn)一步。

他用積分方法證明了，在曲線由兩個(gè)常數(shù)小于 1 的 Lipschitz 圖形組成的這種特殊情況下，該曲線一定存在四個(gè)能組成正方形的點(diǎn)。

不過(guò)，這同樣沒有完全解決內(nèi)接正方形問題。

總而言之，對(duì)于平面上的任意簡(jiǎn)單閉合環(huán)路而言，矩形的存在已經(jīng)得到了證明，但是否任意長(zhǎng)寬比的矩形（包括正方形）都能存在，此前的數(shù)學(xué)家們都沒能解決。

而 Joshua Greene 和 Andrew Lobb 就在疫情期間，基于Herbert Vaughan的方法，將這個(gè)問題徹底解決了。

證明的思路是：

如果證明了存在任意長(zhǎng)寬比的內(nèi)接矩形，那么方形（長(zhǎng)寬1:1的矩形）也必然是存在的。

而且這一結(jié)論比陶哲軒想要證明的內(nèi)接方形結(jié)論更強(qiáng)。

將莫比烏斯帶嵌入四維空間

在正式的研究時(shí)，他們還參考了去年11月普林斯頓大學(xué)一位研究生Cole Hugelmeyer?的研究。

這個(gè)研究中，介紹了用「嵌入」法分析莫比烏斯帶的方法。具體指：

假定一條一維直線，每個(gè)點(diǎn)都只有一個(gè)數(shù)字表示。

如果將這條直線放在二維空間，比如xy平面上，那么直線上的每個(gè)點(diǎn)會(huì)由兩個(gè)數(shù)字表示，比如xy平面上的xy兩個(gè)坐標(biāo)。

以此類推，放在四維空間里，就將有四個(gè)數(shù)字來(lái)表示。

思路很好，但有一個(gè)問題——如何確定四維坐標(biāo)？這是Cole Hugelmeyer研究的核心。

按照Vaughan的思路，從莫比烏斯帶上的一個(gè)定點(diǎn)開始。它所代表的原始封閉曲線上的兩個(gè)點(diǎn)（一對(duì)點(diǎn)），找到這對(duì)點(diǎn)的中點(diǎn)。

那么，這個(gè)中點(diǎn)有對(duì)應(yīng)的x和y坐標(biāo)，從而可以得出具體的坐標(biāo)值。

接著，測(cè)量閉環(huán)上兩個(gè)原始點(diǎn)之間的直線距離，可以得到第三個(gè)坐標(biāo)。

最后，將穿過(guò)兩個(gè)原始點(diǎn)的直線與x軸正方向的夾角作為第四個(gè)坐標(biāo)。

四個(gè)坐標(biāo)確定了，那么莫比烏斯帶在四維空間對(duì)應(yīng)的任意一點(diǎn)都可以用這一坐標(biāo)來(lái)表示。

就類似于在xy平面上向某一軸平移一樣，只會(huì)改變其中一個(gè)坐標(biāo)。

那么，將莫比烏斯帶繞著中心點(diǎn)(a,b)隨機(jī)旋轉(zhuǎn)任何角度，只會(huì)改變最后一個(gè)坐標(biāo)值，沒有改變其他的性質(zhì)。

由此，Hugelmeyer證明了大概有三分之一的旋轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生與原始圖形的交集。

也就意味著，可以找到三分之一的任意長(zhǎng)寬比的矩形，問題并沒有完全解決。

如果能夠證明莫比烏斯帶的每一個(gè)可能的旋轉(zhuǎn)，都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)，就等同于證明你可以找到所有可能長(zhǎng)寬比的矩形。

那剩下的三分之二呢？

如果將其嵌入四維空間是一個(gè)有效解決方法，那為啥只對(duì)三分之一的矩形有用呢？

Greene和Lobb眉頭一皺，發(fā)現(xiàn)事情并不簡(jiǎn)單。講道理，應(yīng)該可以得到另外的三分之二的矩形。

于是，他們就將目光放在四維空間的構(gòu)建上，既然此前的方法不行，那就試試辛空間。

「辛空間」的提出首次出現(xiàn)在19世紀(jì)的物理系統(tǒng)，比如軌道行星的研究。

當(dāng)行星穿過(guò)三維空間的時(shí)候，它的位置有三個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定，但是隨后有學(xué)者表示，在行星運(yùn)動(dòng)的每個(gè)點(diǎn)上，還可以放置一個(gè)代表行星動(dòng)量的矢量。

于是，他們就開始嘗試將二維的莫比烏斯帶「嵌入」到四維辛空間中。

而嵌入辛空間，就需要使用辛幾何學(xué)的工具，而這其中很多工具都直接關(guān)系到空間如何相交的問題。

這個(gè)時(shí)候，有一個(gè)「克萊因瓶」幫助他們徹底解決了。

克萊因瓶長(zhǎng)這樣。

克萊因瓶可以看做更高維度的莫比烏斯帶，莫比烏斯帶只有一條邊，克萊因瓶只有一個(gè)面，它們都不分外面里面。

除此之外，它們還有這樣一層關(guān)系——將兩條莫比烏斯帶粘在一起就可以形成一個(gè)克萊因瓶。

隨后就發(fā)現(xiàn)，克萊因瓶根本不可能嵌入到四維辛空間中而不相交！

同時(shí)，他們又證明了，莫比烏斯帶可以嵌入到四維辛空間中而不相交。

而在空間中旋轉(zhuǎn)莫比烏斯帶可以構(gòu)造出一個(gè)一個(gè)克萊因瓶子。如果在這個(gè)過(guò)程中，莫比烏斯帶不相交，那么就可以再四維辛空間中構(gòu)造一個(gè)不想交的克萊因瓶。

這顯然是與之前的結(jié)論是矛盾的。

所以旋轉(zhuǎn)一個(gè)莫比烏斯帶，旋轉(zhuǎn)后的副本必然會(huì)和與原來(lái)的相交。

這意味著每一個(gè)封閉的光滑曲線必須包含四個(gè)點(diǎn)的集合，這四個(gè)點(diǎn)可以連接在一起形成所有長(zhǎng)寬比的矩形。

問題得證！

關(guān)于作者

最后，來(lái)認(rèn)識(shí)下這兩位解決了百年數(shù)學(xué)難題的數(shù)學(xué)家吧~

一位是Andrew Lobb，本科就讀于牛津大學(xué)，隨后在哈佛大學(xué)攻讀博士學(xué)位，目前在杜倫大學(xué)擔(dān)任助理教授，同時(shí)也是日本沖繩科技大學(xué)Excellence Chair。

另一位是Joshua Greene，先后在芝加哥大學(xué)、普林斯頓大學(xué)攻讀碩士、博士學(xué)位，現(xiàn)在是波士頓學(xué)院教授。

如果你想更深入地了解他們的證明細(xì)節(jié)，請(qǐng)收好下面的傳送門~

證明論文鏈接：https://arxiv.org/abs/2005.09193

Cole Hugelmeyer研究：https://arxiv.org/abs/1911.07336

陶哲軒相關(guān)研究：https://arxiv.org/abs/1611.07441

參考鏈接：https://www.wired.com/story/in-lockdown-mathematicians-crack-a-stubborn-geometry-riddle/

https://www.bilibili.com/video/BV1rs411x7sb

— 完 —