MIT助理教授趙宇飛團(tuán)隊(duì)登數(shù)學(xué)四大頂刊，華人作者中兩位是本科生，最小的是00后

夢(mèng)晨 蕭簫 發(fā)自 凹非寺

量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI

你能想象，一個(gè)等角線問題，竟然困擾了數(shù)學(xué)家們70余年？

等角線的定義很簡單，穿過一個(gè)點(diǎn)的一組直線，任2條之間夾角都相等就是等角線。

比如在二維平面相互垂直的兩條直線或，或相互成60度角的3條直線。

3條直線形成的6個(gè)60度夾角，也剛好把一個(gè)二維空間分成6部分，合起來就是360度。

3也就是二維空間中等角線數(shù)量的最大值了，很極限的滿足了任意兩條直線之間夾角都相等這個(gè)條件。

如果再多一條直線，無論怎么擺條件都無法成立。

到了3維空間，情況要復(fù)雜一些，不過通過想象和畫圖也可以找出，等角線最多可以有6條，此時(shí)的夾角是63.4度。

△圖源：MIT 作者：Zilin Jiang

到這里都還不難，然而推廣到4維、5維、6維……N維呢？

高維空間等角線數(shù)量最大值問題，一困擾數(shù)學(xué)家們就是幾十年。

科學(xué)家們長久以來只能給出一個(gè)范圍，而沒辦法算出精確的數(shù)值。

現(xiàn)在，這一難題終于被MIT助理教授趙宇飛帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)突破了，已被四大頂刊之一的《數(shù)學(xué)年刊》接受，預(yù)計(jì)于2022年的第一期發(fā)表。

普林斯頓大學(xué)教授Noga Alon對(duì)此評(píng)價(jià)：

這是一個(gè)美妙的結(jié)果，為幾何極值中一個(gè)已經(jīng)被廣泛研究的問題提供了驚人的答案。

火星通信就用上了

在解答問題前，你可能有一個(gè)疑惑，研究這個(gè)做什么？

其實(shí)，尋找高維空間中的等角線最大值不僅有理論數(shù)學(xué)上的意義，也有一定的應(yīng)用價(jià)值。

特別是嘈雜通信環(huán)境下的信息編碼和傳輸問題。

比如正在遙遠(yuǎn)火星上探索的天問一號(hào)和祝融號(hào)，它們傳回地球的信號(hào)該如何保證準(zhǔn)確性？

信號(hào)在如此長的距離中傳輸，不可避免會(huì)遇到許多噪聲。

像地球上飛機(jī)與塔臺(tái)間的通信，手機(jī)移動(dòng)信號(hào)等都會(huì)造成干擾，這樣火星探測(cè)器發(fā)出的信號(hào)等傳到地球早就變了樣。

地球這邊的接收方其實(shí)一直是靠猜去試圖理解火星上傳回的信息，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了“發(fā)送方以什么形式編碼信息，能讓接收方更容易猜？”。

數(shù)學(xué)家們想到的一種辦法，是把信息打包成“球形編碼”，可以理解成把信息放在像經(jīng)緯度一樣的坐標(biāo)點(diǎn)上。

關(guān)鍵在于只使用有限數(shù)量的點(diǎn)，只要不同點(diǎn)之間的距離足夠遠(yuǎn)又有規(guī)律，接收一方就不容易把兩個(gè)點(diǎn)的內(nèi)容混淆。

只不過這里的球說的不是日常中能見到的三維球體，而是用數(shù)學(xué)描述的高維幾何球體。

找到等角線就可以找出那些用來編碼信息效果最好的點(diǎn)。

要理解這個(gè)問題，還是先回到簡單的二維平面說起。

前面說到，二維平面上的等角線最多有3條，相互之間呈60度夾角。

用這3條直線可以構(gòu)造出一個(gè)正六邊形，它的6個(gè)頂點(diǎn)就適合用來構(gòu)造球形編碼（雖然在二維空間還只能叫圓形），相鄰的點(diǎn)之間距離相等，經(jīng)過噪聲干擾后也不容易被誤判成另一個(gè)點(diǎn)。

之所以要尋找等角線數(shù)量的最大值，是因?yàn)楹线m的點(diǎn)越多能發(fā)送的信息量也就越多。

如果換成三維，就是經(jīng)過正二十面體中心的6條對(duì)角線。

不過三維球形編碼能發(fā)送的數(shù)據(jù)量，對(duì)于火星與地球間通信來說還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

如何計(jì)算出更高維空間中等角線的最大值，就成了數(shù)學(xué)家們努力的目標(biāo)。

用矩陣研究高維幾何

很長一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)家們能做到的就是證明等角線數(shù)量的最大值大致不能超過維度數(shù)的平方。

更具體一些，設(shè)維度數(shù)為d，d維空間的等角線數(shù)量最大值不能超過下面這個(gè)值：

直到2017年，蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院的Benny Sudakov教授的研究才在這一問題上取得了重要進(jìn)展。

Sudakov的方法是用線性代數(shù)和圖論的方法來研究這個(gè)問題。

還是拿二維平面舉例，先沿著每條線畫一個(gè)單位向量：

再去計(jì)算每兩條向量之間的點(diǎn)積：

接下來需要圖論的方法建立一個(gè)圖，向量是圖中的點(diǎn)。如果向量間的點(diǎn)積是正的，邊就是紅色；點(diǎn)積是負(fù)的，邊就是藍(lán)色。

進(jìn)而可以用矩陣表示這個(gè)圖：

△圖源：Quantum Magzine

高維等角線也可以按這個(gè)方法轉(zhuǎn)換成矩陣表示，比如5維空間中的8個(gè)等角線：

△圖源：Quantum Magzine

這樣一個(gè)不直觀、不方便研究的高維幾何問題，就可以用上圖論和線性代數(shù)里的諸多數(shù)學(xué)工具。

對(duì)于這種將高維幾何問題轉(zhuǎn)換的思路，西門菲沙大學(xué)的Jonathan Jedwab形容道：

這就像拿光照射3維物體，能看見它在一個(gè)方向的2維投影圖；如果在光照下移動(dòng)3維物體，就能比較不同方向得到的2維投影圖，從而獲得更多高維物體的信息。

在對(duì)這些矩陣進(jìn)行研究的過程中，圖論中的拉姆齊定理給了Sudakov靈感。

拉姆齊定理認(rèn)為，找一個(gè)最小的自然數(shù)R(k,l)=n ，使得n個(gè)人中必定有k個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或l個(gè)人互不相識(shí)。

這里的k和l，剛好能和矩陣中的正負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，也就是上面圖中的紅色和藍(lán)色。

通過將拉姆齊定理的相關(guān)結(jié)論靈活應(yīng)用于等角線研究中，Sudakov等人最終證明：

對(duì)任何d維的圖，在特定角度（約70.7°）下，等角線的最大數(shù)目是2d-2；對(duì)于其他任何角度，等角線最大數(shù)目不超過1.93d。

然而，這并不算是一個(gè)真正確定的結(jié)果，只是再次收緊了“等角線數(shù)量”的最大值范圍。

現(xiàn)在，來自MIT的趙宇飛團(tuán)隊(duì)，利用一個(gè)發(fā)現(xiàn)的新定理，給出了這個(gè)難題的確定公式。

新定理解決70年難題

趙宇飛團(tuán)隊(duì)先是在對(duì)等角線進(jìn)行研究中，發(fā)現(xiàn)并證明了一個(gè)新定理。

這個(gè)定理認(rèn)為，有界度圖（bounded degree graph）必須具有次線性第二特征值重?cái)?shù)。

其中，度指在圖論中，頂點(diǎn)相連接的邊的數(shù)目，因此有限圖一定是有界度圖。

神奇的是，這個(gè)定理之前并沒有人給出過，但發(fā)現(xiàn)它也確實(shí)需要非常的洞察力。

依據(jù)發(fā)現(xiàn)的新定理，趙宇飛團(tuán)隊(duì)成功解決了這個(gè)70年一直懸而未解的問題：

在給定角度的情況下，所有足夠大的任意維度空間中，等角線數(shù)量的最大值是多少。

具體來說，這篇論文的結(jié)論如下：

給定數(shù)值α滿足0＜α＜1，計(jì)算出給定角度arccos α，設(shè)d維圖中等角線數(shù)量的最大值為。

設(shè)k代表鄰接矩陣譜半徑為(1 ? α)/(2α)的圖的最小頂點(diǎn)數(shù)。

如果k＜∞，那么對(duì)于所有足夠大的d，都有：

否則有：

特殊地，在k(k為整數(shù))≥2的情況下，對(duì)于所有足夠大的d，有：

在此之前，數(shù)學(xué)家們的研究一直都停留在研究最大值的范圍上，沒有人能給出在指定角度下，任意維度的等角線數(shù)量最大值的確定公式。

對(duì)于這項(xiàng)研究，趙宇飛表示：

當(dāng)時(shí)我有預(yù)感，團(tuán)隊(duì)會(huì)在等角線上取得一些不錯(cuò)的進(jìn)展，但完全解決整個(gè)問題還是超出了我的預(yù)期。

本來是學(xué)生暑期項(xiàng)目，最小作者00后

這次論文背后的團(tuán)隊(duì)導(dǎo)師趙宇飛（Yufei Zhao），在武漢出生，1999年隨父母移民加拿大。

據(jù)中新網(wǎng)報(bào)道，趙宇飛在中學(xué)時(shí)被選入資優(yōu)班，他的數(shù)學(xué)老師表示“15年間，從未給過學(xué)生滿分，直至遇到他”。

目前，趙宇飛在MIT任助理教授。

他在MIT獲得數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)雙學(xué)士學(xué)位后，于劍橋大學(xué)取得碩士學(xué)位，并于2015年獲MIT博士學(xué)位。

在求學(xué)期間，趙宇飛深入研究了大圖（足夠大的圖graph）的規(guī)律，尤其是對(duì)其中的“圖正則引理”進(jìn)行了深入研究。

他認(rèn)為，在圖數(shù)據(jù)越來越龐大的當(dāng)下，大圖的世界是無限的，而圖正則原理、圖極限等數(shù)學(xué)方法，正是解決圖數(shù)據(jù)問題的重要工具。

也正是基于這一領(lǐng)域的研究成果，趙宇飛獲得了有“諾獎(jiǎng)風(fēng)向標(biāo)”之稱的斯隆獎(jiǎng)、柯尼希獎(jiǎng)（K?nig Prize ）和MIT未來科學(xué)家獎(jiǎng)。

雖然他的主要研究領(lǐng)域是加性組合，不過他興趣廣泛，對(duì)極值問題和概率論，以及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中的很多問題都感興趣。

值得注意的是，趙宇飛的學(xué)生Ashwin Sah在本科期間，還曾經(jīng)對(duì)本次研究用到的拉姆齊數(shù)理論做出過重要突破。

這次與等角線最大值問題結(jié)緣，是從2018年先在這一問題作出突破的Sudakov教授到MIT訪問交流開始。

趙宇飛是那次交流活動(dòng)的主持人。

Sudakov研究這一問題是受卡耐基梅隆大學(xué)的一位學(xué)者Bukh Boris啟發(fā)，而本次研究的另一位作者博士后姜子麟在博士時(shí)的導(dǎo)師正是Boris。

到了2019年暑期，趙宇飛和姜子麟帶著共同的興趣將這一課題作為MIT數(shù)學(xué)系暑期研究項(xiàng)目開展。

學(xué)生中的3人張盛桐、姚遠(yuǎn)和Jonathan Tidor參與了這個(gè)項(xiàng)目，5人組成了研究小組。

一開始他們只是覺得這個(gè)問題足夠大，是一個(gè)暑期研究的好項(xiàng)目，也沒想著能取得多大進(jìn)展。

沒想到，最后直接一舉解決了。

合影里中間一位是趙宇飛。

左數(shù)第一位姜子麟，北大數(shù)院校友，CMU博士，以色列理工學(xué)院博士后，發(fā)表這篇論文期間，他曾經(jīng)在MIT進(jìn)行博士后工作。

2017年，他曾經(jīng)與MIPT的Alexandr Polyanskii證明了離散幾何中的一個(gè)重要猜想“球帶猜想”（Zone Conjecture），解決了困擾數(shù)學(xué)家們長達(dá)四十余年的問題。

左數(shù)第二位是Jonathan Tidor，現(xiàn)MIT博士生，主要研究方向是加性組合、高階傅里葉分析和離散幾何。

右數(shù)第二位姚遠(yuǎn)，上外附中校友，目前是MIT研究生，2016年美國隊(duì)IMO金牌滿分選手，連續(xù)兩屆獲得阿里全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)和銅獎(jiǎng)，普特南大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽特等獎(jiǎng)（fellow）。

右數(shù)第一位張盛桐，上海中學(xué)校友，MIT本科生（2000年出生），連續(xù)三屆獲得阿里全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽銀獎(jiǎng)、2016年國家隊(duì)IMO金牌，有“加強(qiáng)版IMO”之稱的普特南大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽特等獎(jiǎng)（fellow）。

據(jù)趙宇飛教授2019年的博客，發(fā)表這篇文章時(shí)，姚遠(yuǎn)和張盛桐分別都還是MIT的本科生，其中姚遠(yuǎn)就讀大二，張盛桐則剛上大一：

本科生階段的研究成果就登上四大頂刊之一《數(shù)學(xué)年刊》，也是很厲害了。

ArXiv論文地址：
https://arxiv.org/abs/1907.12466

參考鏈接：
[1]https://annals.math.princeton.edu/articles/18190
[2]https://math.mit.edu/directory/profile.php?pid=1354
[3]https://news.mit.edu/2021/mathematicians-solve-old-geometry-problem-equiangular-lines-1004
[4]https://www.quantamagazine.org/a-new-path-to-equal-angle-lines-20170411/
[5]https://www.quantamagazine.org/how-spherical-codes-work-20170412/
[6]https://www.zilin.one/
[7]https://www.quantamagazine.org/how-spherical-codes-work-20170412/
[8]https://www.linkedin.com/in/shengtong-zhang-73a642197/
[9]https://math.mit.edu/directory/profile?pid=2324
[10]https://yufeizhao.com/blog/2019/07/30/equiangular-lines-with-a-fixed-angle/
[11]https://news.mit.edu/2019/mit-students-place-highly-putnam-mathematical-competition-0304
[12]http://www.chinanews.com/hr/mzhrxw/news/2006/07-24/762695.shtml

— 完 —