華人數(shù)學家死磕歐拉方程10年，用計算機找到了讓它失效的“奇點”

夢晨 2022-11-20 14:31:55 來源：量子位

金磊 發(fā)自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI

專研長達10年，論文足足177頁。

華人數(shù)學家通過計算機，找到了讓著名歐拉方程失效的“奇點”。

△圖源：Quanta Magazine

歐拉方程，是250年前（1755年）由瑞士數(shù)學家歐拉提出，屬于無黏性流體動力學中最重要的基本方程。

它可以說是“鼻祖級”的方程，正如杜克大學數(shù)學家Tarek Elgindi的評價：

幾乎所有的非線性流體方程都是從歐拉方程推導出來的。

即便如此，幾百年來仍有許多“未解之謎”讓數(shù)學家們困惑不已。

例如原則上，如果你已知流體中每個粒子的位置和速度，歐拉方程應該能夠預測流體將如何一直演化下去。

但數(shù)學家們認為，歐拉方程在某個“奇點”上便會開始輸出沒有意義的數(shù)值，也就是無法再做精準預測。

而一旦達到這個點，人們就認為歐拉方程失效了，更戲劇化的說法，叫做產(chǎn)生了“爆破”（blow up）。

來自加州理工學院華人數(shù)學家Thomas Hou等人所做的研究工作，就是通過計算機對此做出了證明。

馬里蘭大學數(shù)學家Tristan Buckmaster在看完這項工作后說：

這是一個驚人的結(jié)果。

此前從來沒有過。

用計算機證明歐拉方程的“爆破”

早在2013年的時候，Thomas Hou和現(xiàn)在就職于香港恒生大學的Guo Luo就提出過一個假設：

歐拉方程會導致一個奇點。

為此，他們開發(fā)了一種計算機來模擬圓柱體中的流體：

圓柱體內(nèi)的液體，上半部分是順時針旋轉(zhuǎn)，而下半部分則是逆時針旋轉(zhuǎn)。

這兩股相反方向的水流在運動的過程中，產(chǎn)生了其它復雜的情況——出現(xiàn)上下循環(huán)的水流。

而在它們相遇的地方，流體的渦度（描述流體旋轉(zhuǎn)情況的流體力學概念）以極快的速度增長，似乎隨時就要“爆破”。

但他們當時的研究只能說對于“奇點存在”是具備啟示性，并沒有真正意義的證據(jù)。

這是因為計算機不可能計算出無窮大的值，它可以算出的是非常接近奇點的近似值，但并非是精準的那種。

事實上，當用更強大的計算方法探測時，明顯的奇點卻已經(jīng)消失了。

也正因如此，普林斯頓大學數(shù)學家Charlie Fefferman評價過去人們對這件事的研究為：

問題非常的微妙，以至于到處都是模擬研究的“殘骸”。

但Thomas Hou等人卻不為所動，堅持“死磕”這一難題。

終于在9年后，他和他之前的研究生Jiajie Chen成功證明了附近奇點的存在。

他們先是仔細分析了2013年的研究，發(fā)現(xiàn)那個近似解似乎有一個特殊的結(jié)構(gòu)：

隨著時間的推移，這些方程的解會呈現(xiàn)出一種所謂的“自相似模式”（self-similar pattern），它的形狀后來看起來很像它的早期形狀，只是以一種特定的方式重新縮放。

因此，二人認為不需要去研究奇點的本身，相反，可以關注更早的時間點來間接對它做研究。

具體而言，就是通過正確的速率放大解的這部分（是由解的自相似結(jié)構(gòu)決定的），可以模擬之后會發(fā)生什么。

為此，他們花費了好幾年的時間才找到了與2013年“爆破”情況類似的自我模擬方案。

然后二人需要做的工作，就是證明奇點附近存在一個精確的解。

從數(shù)學層面上來說，就是要證明他們找到的那個解是穩(wěn)定的，即便對它進行擾動，結(jié)果也能在近似解周圍小鄰域的范圍內(nèi)。

但在這個過程中，Thomas Hou發(fā)現(xiàn)，他們不得不再借助計算機的力量，因為有太多的精度要確定，計算量簡直大到驚人的程度。

但也正如剛才我們提到的，計算機是無法計算無窮大的值，微小的錯誤可以說是在所難免，因此他們也要小心地跟蹤這些錯誤，以免影響到其它結(jié)果。

最終，在“人機結(jié)合”的方式之下，Thomas Hou和Jiajie Chen最終找到了所有項的邊界，并完成了證明——

歐拉方程確實會產(chǎn)生一個奇點。

而這次的證明過程，讓Thomas Hou感受頗深：

現(xiàn)在的數(shù)學工作不再是靠紙和筆，計算機是一種更強大的武器。

對此，F(xiàn)efferman也補充道：

在我看來，如果不大量使用計算機輔助證明，就好像把（數(shù)學家）的雙手綁在背后一樣。

作者介紹

這項研究的作者之一是Thomas Hou，加州理工學院計算與數(shù)學科學教授，專攻數(shù)值分析和數(shù)學分析相關工作。

他本科就讀于華南理工大學，于1982年獲得學士學位；他的博士生涯是在加州大學洛杉磯分校完成。

1989年到1993年期間，他在紐約大學庫朗數(shù)學科學研究所任教。

自1993年至今，他便一直在加州理工學院任教。

研究的另一位作者是Jiajie Chen，目前是紐約大學的數(shù)學科學家。

他在研究生期間就證明了各種流體方程式可以“爆破”。

論文地址：

https://arxiv.org/abs/2210.07191

參考鏈接：

[1]https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/
[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou