華人攻破上世紀(jì)數(shù)學(xué)難題：求一張白紙上的所有線條上共有多少灰塵｜普林斯頓&紐大

十三 2023-11-05 13:13:47 來(lái)源：量子位

豐色 發(fā)自 凹非寺

量子位 | 公眾號(hào) QbitAI

想象你面前有一張巨大的白紙，上面畫了很多線，每條都指向不同的方向。

突然一陣風(fēng)吹過(guò)，一些灰塵落在紙上。

此時(shí)一位樂(lè)于助人的數(shù)學(xué)家出現(xiàn)，告訴你某一條線上有多少灰塵。

你能根據(jù)這一信息，算出所有線條上總共有多少灰塵嗎？

以上這個(gè)數(shù)學(xué)難題來(lái)自弗斯滕伯格集合猜想（the Furstenberg set conjecture）。

它于1999年誕生，至今已有24個(gè)年頭——

盡管在數(shù)學(xué)史上還算年輕，但它看起來(lái)也不簡(jiǎn)單。

不過(guò)，好消息：

普林斯頓二年級(jí)研究生Kevin Ren和紐約大學(xué)王虹教授已經(jīng)將它完整證明出來(lái)了。

并且有意思的是，倆人此前素未謀面，是在各自的研究中“不謀而合”地想到了同一方法，然后才合作發(fā)表了這篇成果。

華人師生解決誕生于1999年的數(shù)學(xué)猜想

要解決這個(gè)猜想，必須得先掌握豪斯多夫維數(shù)的概念。

通俗的來(lái)說(shuō)，最接近這個(gè)想法的數(shù)學(xué)模型是拓?fù)渚S度。

對(duì)于日常物體，比如直線、長(zhǎng)方形，它們的拓?fù)渚S度（以及豪斯多夫維數(shù)）必然是整數(shù)（分別為1、2）。

但是這個(gè)概念在描述某些不規(guī)則的集合比如分形的時(shí)候遇到了困難，而豪斯多夫維數(shù)則是一個(gè)描述這類集合的恰當(dāng)工具。

在這些情況下，它可能為一個(gè)非整的有理數(shù)或者物理數(shù)。

比如科赫曲線（下圖為它的4次迭代過(guò)程），每一部分都由4個(gè)跟它自身比例為1:3的形狀相同的線組成，它的豪斯多夫維數(shù)就約等于1.26。

從某種意義上來(lái)說(shuō)，這個(gè)數(shù)字意味著它比直線“大”，但又比二維物體要小。

說(shuō)回開頭的題目。

最早提出該問(wèn)題的其實(shí)是加州理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家托馬斯·沃爾夫?(Thomas Wolff)?。

他同時(shí)給出了最小灰塵量的猜測(cè)。

根據(jù)題目中那位數(shù)學(xué)家給你的數(shù)字，我們能得出一條特定線條上看到的所有灰塵的最小豪斯多夫維數(shù)。

我們將它命名為s。

沃爾夫證明，所有灰塵的豪斯多夫維數(shù)必須至少為s + ?或2s（以較大者為準(zhǔn)）。

不過(guò)他表示他只是提供了證明，這個(gè)結(jié)論不確定是誰(shuí)先得出的。

而他本人懷疑最終極限可能比該結(jié)果還要高：

至少為(3s+1)/2。

這個(gè)懷疑又被數(shù)學(xué)界命名為“弗斯滕伯格猜想”。

2020年，還在MIT讀本科的Kevin Ren首次接觸到該猜想。

他在閱讀了數(shù)學(xué)家讓·布爾干?(Jean Bourgain)?的論文后，還是一頭霧水。

（該數(shù)學(xué)家于2003年在一個(gè)特殊例子上取得了一些進(jìn)展。）

不過(guò)Kevin Ren一直沒(méi)有放棄這個(gè)問(wèn)題。

今年6月，他發(fā)現(xiàn)芬蘭于韋斯屈萊大學(xué)發(fā)表的一篇新論文又證明了該猜想的一個(gè)特例。

加上2019年MIT數(shù)學(xué)家拉里·古斯?(Larry Guth）與人合著的一篇論文中證明的特例，這讓他覺(jué)得：

如果以某種方式將這兩種特例結(jié)合起來(lái)，是不是能給出一個(gè)一般性的證明？

具體來(lái)看，2019年的研究證明了一個(gè)猜想，即我們把一些從遠(yuǎn)處看間隔很遠(yuǎn)的線拉近來(lái)看，其實(shí)會(huì)呈現(xiàn)“密集的一簇”的形式（a dense bundle）。

而今年6月的論文則給出了相反的情況：

規(guī)則的線條無(wú)論放大或縮小多少，其維度看起來(lái)都是一樣的。

Kevin Ren接下來(lái)的三周都在思考這個(gè)問(wèn)題，在做家務(wù)時(shí)他的腦子也在不斷想象著“穿過(guò)點(diǎn)的線組”。

很快，他的靈感來(lái)了。

他意識(shí)到，如果我們放大或縮小一組線條，它的整體看起來(lái)只能要么是亂亂的一團(tuán)（clumpy），要么是規(guī)則的一簇（regular）。

基于此，他就能夠拼湊出一個(gè)對(duì)無(wú)論什么樣的集合都有效的證明。

激動(dòng)的Kevin Ren趕緊聯(lián)系拉里·古斯（他在MIT指導(dǎo)過(guò)Kevin Ren），沒(méi)想到古斯告訴他：

他2019年那篇論文的合著者之一、紐約大學(xué)王虹教授也證明了。

不過(guò)神奇的是，倆人聯(lián)系上后才發(fā)現(xiàn)：

他們的想法可謂不謀而合，用到的策略是那么驚人地相似。

既然如此，他們選擇合并各自的論點(diǎn)，共著一篇論文發(fā)表。

最后，來(lái)自萊斯大學(xué)的Nets Katz教授（也參與了該猜想的研究）評(píng)價(jià)稱：

目前，Kevin Ren和王虹的論文還是預(yù)印本，尚未經(jīng)過(guò)全面的同行評(píng)審。

但我估計(jì)其正確率有95%。

作者介紹

Kevin Ren，普林斯頓研二在讀。

研究方向?yàn)楦盗⑷~分析及其在幾何測(cè)度理論和度量幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。

他本科（2018-2022）來(lái)自MIT，獲得了數(shù)學(xué)和物理學(xué)位。

王虹，2019年從MIT博士畢業(yè)。

目前是紐約大學(xué)科朗研究所副教授，此前在UCLA擔(dān)任了兩年助理教授。

她的研究方向同為傅立葉分析及相關(guān)問(wèn)題。

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2308.08819
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-cross-the-line-to-get-to-the-point-20230925/