用Julia學(xué)習(xí)微積分：這有一份高贊數(shù)學(xué)教程 | 附習(xí)題+代碼

曉查 2019-05-14 09:03:36 來(lái)源：量子位

曉查 發(fā)自 凹非寺

量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI

以快速簡(jiǎn)潔聞名Julia，本身就是為計(jì)算科學(xué)的需要而生。用它來(lái)學(xué)習(xí)微積分再合適不過(guò)了，而且Julia的語(yǔ)法更貼近實(shí)際的數(shù)學(xué)表達(dá)式，對(duì)沒(méi)學(xué)過(guò)編程語(yǔ)音的初學(xué)者非常友好。

最近，來(lái)自紐約斯塔頓島學(xué)院的數(shù)學(xué)系教授John Verzani編寫(xiě)了一份微積分與Julia的教程，里面常見(jiàn)的微積分概念和圖像演示都有，比課本更生動(dòng)直觀，每個(gè)章節(jié)后還附習(xí)題供讀者鞏固知識(shí)。

雖然很多學(xué)校在使用Mathematica、Maple等數(shù)學(xué)軟件在進(jìn)行教學(xué)，但是Julia的優(yōu)勢(shì)是完全開(kāi)源和免費(fèi)。

準(zhǔn)備工作

在使用教程之前，我們先給Julia安裝Plots包，這是用來(lái)繪制函數(shù)圖像的擴(kuò)展包。此外還要安裝SymPy科學(xué)計(jì)算庫(kù)等其他軟件包。

using Pkg
Pkg.add("Plots")
Pkg.add("SymPy")
Pkg.add("Roots")
Pkg.add("ForwardDiff")
Pkg.add("ImplicitEquations")
using Plots
plot(sin, 0, 2pi)

安裝完以上的擴(kuò)展包，就可以繪制函數(shù)圖像了。我們簡(jiǎn)單繪制0到2π范圍的正弦函數(shù)圖像：

using Plots
plot(sin, 0, 2pi)

Julia支持輸入特殊數(shù)學(xué)符號(hào)，具體的方法是斜杠\后緊跟符號(hào)的LaTeX名稱(chēng)，然后按下Tab鍵，就能輸出特殊字符。比如：

θ = 45; v? = 200

輸入θ的方法是\theta[tab]，輸入v?的方法是v\_0[tab]。

導(dǎo)數(shù)

完成了Julia部分的基本教學(xué)后，下面就是微積分的基本概念了。

先回顧一下導(dǎo)數(shù)的定義，從函數(shù)圖像上來(lái)看，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)割線(xiàn)斜率的極限，當(dāng)割線(xiàn)上兩點(diǎn)合并成一點(diǎn)時(shí)，它就變?yōu)榍芯€(xiàn)。

其實(shí)就是求下面的極限：

Julia集成了求極限的功能，對(duì)于正弦函數(shù)sin(x)而言，求它的導(dǎo)數(shù)就是[sin(x+h)-sin(x)]/h在h趨于0時(shí)的極限

using SymPy
limit((sin(x+h) - sin(x))/ h, h, 0)

通過(guò)以上方法求得sin(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為1，繪制成函數(shù)圖像就是：

f(x) = sin(x)
c = 0
tl(x) = f(c) + 1 * (x - c)
plot(f, -pi/2, pi/2)
plot!(tl)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、牛頓法

通過(guò)切線(xiàn)逐步逼近，求方程的近似解。

2、洛必達(dá)法則求極限

寫(xiě)成Julia語(yǔ)言：

using SymPy
a,x = symbols("a, x", positive=true, real=true)
f(x) = sqrt(2a^3*x - x^4) - a * (a^2*x)^(1//3)
g(x) = a - (a*x^3)^(1//4)

上面的表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，是0/0的未定式，對(duì)分子f(x)和分母g(x)分別分別求導(dǎo)：

fp, gp = subs(diff(f(x),x), x=>a), subs(diff(g(x),x), x=>a)

得到結(jié)果

(-4*a/3, -3/4)

所以極限值為16a/9。

積分

定積分就是求函數(shù)曲線(xiàn)下包圍面積：

上圖展示了求定積分的方法：把函數(shù)下方圖形分割成若干個(gè)長(zhǎng)條，隨著長(zhǎng)條越分越細(xì)，這些長(zhǎng)條的面積之和就越來(lái)越接近曲線(xiàn)下包圍的面積。

為了求函數(shù)f(x)=x²在[0,1]區(qū)間里的定積分的近似值，我們把整個(gè)區(qū)域劃分成50000份：

a, b = 0, 1
f(x) = x^2
n = 50_000
xs = a:(b-a)/n:b
deltas = diff(xs) 
cs = xs[1:end-1] 
sum(f(cs[i]) * deltas[i] for i in 1:length(deltas))

最后求得結(jié)果為：

0.3333233333999998

顯然用這種方法求定積分太過(guò)復(fù)雜，這就需要引入不定積分的概念。不定積分是已知導(dǎo)數(shù)f’(x)求原函數(shù)f(x)。

定積分與不定積分由牛頓-萊布尼茲公式聯(lián)系起來(lái)：

積分的應(yīng)用

學(xué)會(huì)了積分以后，教程里給出了它的幾個(gè)實(shí)際應(yīng)用案例：

1、求曲線(xiàn)長(zhǎng)度

求解f(x)=x²在[0,1]這段區(qū)間里的弧長(zhǎng)，實(shí)際上求積分。

先求不定積分：

using SymPy
@vars x
F = integrate(sqrt(1 + (2x)^2), x)

F(1)-F(0)就是所求弧長(zhǎng)：

2、求體積

求體積的方法是把物體“切”成一圈圈的米其林，每一圈的體積加起來(lái)就是總體積。

將直線(xiàn)x/r+y/h=1繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)底面直徑為r，高度為h的圓錐體。

using SymPy
@vars r h x y
R = r*(1 - y/h)
integrate(pi*R^2, (y, 0, h))

最后求得體積：

教程中還有很多其他基本概念，由于篇幅較長(zhǎng)，我們就不一一介紹了，感興趣的朋友可以去博客中進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

原文地址：

https://calculuswithjulia.github.io/