歐拉、歐幾里得、笛卡爾都沒能解決的數(shù)學(xué)問題，他探索了新的方案

蕭簫 2020-09-22 12:37:56 來源：量子位

蕭簫 發(fā)自 凹非寺
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歐拉、歐幾里得、笛卡爾、尼科馬修斯都沒能解決的千年數(shù)學(xué)問題，還有破解的可能嗎？

還真有可能。

最近，一位名為佩斯·尼爾森?（Pace Nielsen）的數(shù)學(xué)家開辟了一種新方法，給這個“千年難題”提供了別樣的解決思路。

這個數(shù)學(xué)問題是奇數(shù)完美猜想，事實上，它的定義非常簡單：

是否存在一個奇數(shù)，使得它是完美數(shù)？

然而，這個“簡單問題”卻在證明過程中變得越來越復(fù)雜，甚至成了數(shù)學(xué)上懸而未解的“疑案”。

有“完美”的奇數(shù)嗎？

首先來解決一個概念：“完美數(shù)”是什么？

這個數(shù)最早被畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，他給出了完美數(shù)的定義：

一個完美數(shù)（必須是自然數(shù)），如果將它除了自身以外的所有因數(shù)相加，等于它自己。

例如，6就是一個完美數(shù)。

由于6=1×6=2×3，所以6除了自己以外，它的約數(shù)還有1、2、3。

可以看見，這三個約數(shù)的和為1+2+3=6，恰好等于6自己。

除了6以外，還有28、496、8128……

根據(jù)這些排列出來的數(shù)，歐幾里得設(shè)計了一個公式，用來生成完美數(shù)。

假設(shè)一個質(zhì)數(shù)p，而2 ^ p – 1?（2的p次方-1）也同樣是一個質(zhì)數(shù)，那么2^(p-1)×(2^p-1)就會是一個質(zhì)數(shù)。

問題被解決了？

沒有。

2000年后，歐拉研究這個問題時發(fā)現(xiàn)，歐幾里得給出的公式，實際上只能生成完美數(shù)中的每個偶數(shù)。

數(shù)學(xué)家尼科馬修斯（Nicomachus）下過定論，“完美數(shù)只能是偶數(shù)”，但沒有證明。

也就是說，沒人知道完美奇數(shù)猜想是否正確——到底存不存在這樣的奇數(shù)（Odd Perfect Numbers，簡稱OPN），使得它是完美數(shù)？

問題吸引了不少數(shù)學(xué)家研究，OPN的限制條件也開始被提出：不能被105整除；任何OPN都必須大于10的2000次方……

限制條件越來越多，OPN存在的可能性也在被縮小——像漁夫“收網(wǎng)”一樣，越來越多的奇數(shù)正在被排除。

根據(jù)數(shù)學(xué)上的定理，如果兩個限制條件互相矛盾，那么OPN就不可能存在。

然而，隨著限制條件越來越多，條件之間卻沒有一點(diǎn)矛盾的跡象，導(dǎo)致這個猜想一直沒被證明。

對此，數(shù)學(xué)家約翰·沃伊特表示：證明一種事物的存在非常簡單，但證明它不存在，卻要困難得多。

“收網(wǎng)”行不通，試試找相似

與眾多研究“完美奇數(shù)猜想”的數(shù)學(xué)家一樣，尼爾森一開始也試圖增加OPN的限制條件，以證明它不存在。

但他發(fā)現(xiàn)，這樣的證明方法會隨著限制條件的增加變得十分復(fù)雜。

為此，尼爾森研究前人的成果，發(fā)現(xiàn)了笛卡爾留下的“欺騙數(shù)”（spoof number）。

事實上，這是笛卡爾試圖證明“完美奇數(shù)”存在的一個失敗案例：他假裝某些數(shù)是質(zhì)數(shù)，以此得出了一個假冒版的“完美奇數(shù)”。

例如，198585576189是一個巨大的數(shù)，而22021是它的一個因數(shù)。

笛卡爾在證明過程中，假裝22021是質(zhì)數(shù)，將它和198585576189的其他因數(shù)相加，就等于198585576189自己，符合“完美奇數(shù)”的定義。

其實，22021等于19×19×61，這個數(shù)也因此成為了一個“欺騙數(shù)”。

此外，后人還在笛卡爾研究的基礎(chǔ)上，弄了一個“惡搞版”欺騙數(shù)——他假設(shè)負(fù)數(shù)也能成為完美數(shù)（完美數(shù)只能是自然數(shù)），證明了?22017975903是所有因數(shù)的和。

但如果將這種“欺騙數(shù)”用來證明“完美奇數(shù)”不存在呢？

尼爾森與研究團(tuán)隊用了幾年時間，找出了所有的“欺騙數(shù)”，并開始研究這些欺騙數(shù)的特點(diǎn)。

他提出了自己的觀點(diǎn)：“完美奇數(shù)”應(yīng)該具有“欺騙數(shù)”的一切特性，而且還自帶特殊條件。

而如果能證明“欺騙數(shù)”不符合“完美奇數(shù)”的任何一個限制條件，那么“完美奇數(shù)”就不可能存在。

簡單來說，由于“完美奇數(shù)”不能被105整除，那么如果“欺騙數(shù)”都可以被105整除，“完美奇數(shù)”就不存在。

雖然團(tuán)隊還沒有找到這樣的限制條件，但這無異于給“證明不可能”提供了一個更好的思路。

約翰·沃伊特表示，這是個偉大的嘗試。

也有網(wǎng)友表示，這離難題的解決又近了一點(diǎn)。

尼爾森與奇數(shù)完美猜想

尼爾森第一次與完美數(shù)猜想結(jié)緣，是在高中數(shù)學(xué)競賽上。

被這個問題所吸引，他找來了各種論文研讀，并在大學(xué)時期選擇了數(shù)學(xué)相關(guān)的專業(yè)學(xué)習(xí)，希望能為解決奇數(shù)完美猜想帶來幫助。

論文顯示，尼爾森曾經(jīng)在加州大學(xué)伯克利分校（UCB）工作，目前在楊百翰大學(xué)（BYU），繼續(xù)進(jìn)行奇數(shù)猜想相關(guān)的研究。

對于數(shù)論問題，尼爾森表示自己“正在不斷取得進(jìn)展”。

“只有不斷到山里去，才可能最終找到鉆石。”

參考鏈接：

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https://www.quantamagazine.org/mathematicians-open-a-new-front-on-an-ancient-number-problem-20200910/