谷歌“公式制造機(jī)”登上Nature，你也能用它“變成”數(shù)學(xué)天才 | 開(kāi)源

十三 2021-02-04 19:17:18 來(lái)源：量子位

金磊 發(fā)自 凹非寺
量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI

AI，可以產(chǎn)生數(shù)學(xué)公式，還是迄今尚未解決的那種問(wèn)題。

例如π和e這樣的常數(shù)，雖然在科學(xué)領(lǐng)域司空見(jiàn)慣，但是計(jì)算其高精度近似值往往令人頭大。

由谷歌打造的拉馬努金機(jī)（Ramanujan Machine）便幫上了大忙——能算近似值，還能在數(shù)學(xué)計(jì)算中快速找出精準(zhǔn)規(guī)律

并且就在今天，還登上了頂刊Nature。

AI生成連分?jǐn)?shù)

生成連分?jǐn)?shù)?（continued fractions），就是拉馬努金機(jī)的功能之一。

它是計(jì)算π和e這樣常數(shù)的方式之一，它的分母無(wú)限延伸下去，結(jié)果就會(huì)越來(lái)越接近：

那么谷歌的科學(xué)家為什么要用AI打造連分?jǐn)?shù)？

這是因?yàn)楦鞣N數(shù)學(xué)常數(shù)的連分?jǐn)?shù)是存在卻不是唯一的。

如果找到一個(gè)合適的連分?jǐn)?shù)，那么計(jì)算結(jié)果的收斂速度會(huì)非?？?，大大減少計(jì)算機(jī)的運(yùn)算量。

而發(fā)現(xiàn)連分?jǐn)?shù)里那些特殊整數(shù)的規(guī)律，需要有長(zhǎng)年數(shù)學(xué)知識(shí)的積累，更要有易于常人的直覺(jué)。

有了拉馬努金機(jī)器，就可以用電腦代替人的思維去尋找特殊的連分?jǐn)?shù)了。

并且連分?jǐn)?shù)還應(yīng)用到了各種概念上重要的數(shù)字上。

其中一個(gè)是加Catalan常數(shù)。

這個(gè)數(shù)字大約為0.916，但可以說(shuō)是非常的神秘，因?yàn)闆](méi)有人知道它是否是有理的。

換而言之，沒(méi)人知道它是否可以表示為兩個(gè)整數(shù)的分?jǐn)?shù)。

數(shù)學(xué)家們對(duì)此數(shù)能夠做到的，就是證明它的 “非理性指數(shù)”——衡量用有理數(shù)來(lái)近似一個(gè)數(shù)字的難度。

證明Catalan常數(shù)是無(wú)理數(shù)，就等于證明它的無(wú)理指數(shù)大于1。

人類(lèi)對(duì)此最佳的結(jié)果是0.554，但在拉馬努金機(jī)的幫助下，這一結(jié)果有改進(jìn)，達(dá)到了0.567。

具體如何實(shí)現(xiàn)？

論文當(dāng)中提到了兩種算法。

第一種是中間相遇法（The Meet-In-The Middle）。這個(gè)算法的思路非常簡(jiǎn)單：

給定一個(gè)常數(shù)c（如 c=π），根據(jù)公式：

先計(jì)算出公式右邊一個(gè)精度較低的值，并將其存入哈希表，然后通過(guò)枚舉的方法來(lái)使公式左右兩邊的值相匹配，匹配上的值稱(chēng)為“hits”。

隨后增加hits的精度并重新比較，重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到hits達(dá)到指定精度。這個(gè)最終的結(jié)果就提供了一個(gè)新的連分?jǐn)?shù)。

有些hits值會(huì)產(chǎn)生誤報(bào)，針對(duì)這一點(diǎn)，研究人員提出通過(guò)計(jì)算任意精度的有理函數(shù)來(lái)減少誤報(bào)。

在這個(gè)算法當(dāng)中，由于公式右邊的計(jì)算成本更高，所以將它的值以哈希表來(lái)存儲(chǔ)，以空間換時(shí)間。這個(gè)哈希表也可以保存下來(lái)重新服務(wù)于公式左邊的枚舉，從而大大減少未來(lái)的枚舉時(shí)間。

MITM-RF算法不需要任何關(guān)于基本常數(shù)的先驗(yàn)信息，不過(guò)有許多基本常數(shù)的結(jié)構(gòu)是可以推斷出來(lái)的，以此作為MITM-RF的先驗(yàn)信息可以有效降低空間復(fù)雜度和計(jì)算復(fù)雜度。

不過(guò)，MITM-RF方法還是存在擴(kuò)展性不佳的問(wèn)題，于是研究者使用到了機(jī)器學(xué)習(xí)當(dāng)中常用的梯度下降方法，他們稱(chēng)其為Descent&Repel方法。

我們可以把優(yōu)化問(wèn)題描述成這個(gè)樣子：

這里的最小值不是零維度點(diǎn)，而是（d-1）維的流形，其中d是給定的單一約束所預(yù)期的優(yōu)化變量的數(shù)量。

研究者還觀察到所有的最小值都是全局的，并且它們的誤差為0，也就是說(shuō)所有的梯度下降過(guò)程最后都會(huì)得到L=0的解。

這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題起始于一個(gè)大的點(diǎn)的集合，在示例當(dāng)中，所有初始條件被放置在一條線上。對(duì)每一個(gè)點(diǎn)迭代執(zhí)行梯度下降，然后強(qiáng)制所有的點(diǎn)通過(guò)庫(kù)侖排斥彼此排斥。通過(guò)梯度下降步驟保證算法朝向整數(shù)格并趨向最小曲線，最后僅返回位于整數(shù)格上的解。

AI增加了數(shù)學(xué)的復(fù)雜性

自動(dòng)生成猜想，并不是計(jì)算機(jī)幫助推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的唯一領(lǐng)域。

雖然許多數(shù)學(xué)家仍舊喜歡用紙、筆來(lái)工作，但是利用數(shù)學(xué)軟件，確實(shí)可以操作復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式。

計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算在幾個(gè)引人注目的結(jié)果的證明中發(fā)揮了關(guān)鍵作用。

最近，一些數(shù)學(xué)家在人工智能方面取得了進(jìn)展，人工智能不僅能進(jìn)行重復(fù)的計(jì)算，還能自己做出證明。

另一個(gè)正在發(fā)展的領(lǐng)域是軟件，它可以檢查人類(lèi)寫(xiě)的數(shù)學(xué)證明，并檢查它是否正確。

正如證明自動(dòng)化的先驅(qū)Zeilberger所述：

最終，人類(lèi)將會(huì)被淘汰。

隨著人工智能產(chǎn)生的數(shù)學(xué)的復(fù)雜性增加，數(shù)學(xué)家們將會(huì)失去計(jì)算機(jī)正在做什么的軌跡，并且只能粗略地理解計(jì)算。

但盡管計(jì)算機(jī)能夠提出數(shù)學(xué)表示，甚至證明它們是正確的，但如果沒(méi)有人類(lèi)的干預(yù)，目前還不清楚它們是否僅僅是從技術(shù)角度來(lái)區(qū)分這些數(shù)學(xué)表示。

因此也有人認(rèn)為，類(lèi)似于拉馬努金機(jī)這樣的AI，只是數(shù)學(xué)工作者的一個(gè)輔助工具。

關(guān)于拉馬努金

拉馬努金是印度最著名的數(shù)學(xué)家之一。

在20世紀(jì)早期，拉馬努金對(duì)數(shù)學(xué)做出了重要貢獻(xiàn)。

他沒(méi)受過(guò)正規(guī)的高等數(shù)學(xué)教育，沉迷數(shù)論，尤愛(ài)牽涉π、質(zhì)數(shù)等數(shù)學(xué)常數(shù)的求和公式，以及整數(shù)分拆。

拉馬努金習(xí)慣以直覺(jué)導(dǎo)出公式，不喜作證明（事后往往證明他是對(duì)的）。他留下的那些沒(méi)有證明的公式，引發(fā)了后來(lái)的大量研究。

最后，與拉馬努金機(jī)相關(guān)的項(xiàng)目，在GitHub上已開(kāi)源，戳下方鏈接可以去試試哦~

參考鏈接：

https://www.nature.com/articles/d41586-021-00304-8

相關(guān)項(xiàng)目地址：

https://github.com/AnonGit90210/RamanujanMachine