浙大哈佛劍橋?qū)W者聯(lián)手破解數(shù)學(xué)界幾十年的謎題，成果登上數(shù)學(xué)頂刊

邊策 蕭簫 發(fā)自 凹非寺
量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI

當(dāng)兩個(gè)看似“無(wú)關(guān)”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)生碰撞，會(huì)發(fā)生什么？

浙江大學(xué)研究員、中科大數(shù)學(xué)系2003級(jí)校友葉和溪，與來(lái)自劍橋大學(xué)、哈佛大學(xué)的兩位學(xué)者一起，將動(dòng)力系統(tǒng)應(yīng)用到數(shù)論中，解開(kāi)了困擾數(shù)學(xué)家長(zhǎng)達(dá)數(shù)十年的難題。

研究成果發(fā)表在數(shù)學(xué)界頂級(jí)期刊《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）上，該學(xué)術(shù)期刊為雙月刊，近兩年每年僅發(fā)表三十多篇學(xué)術(shù)論文。

這也是浙大40多年來(lái)首次在該期刊上發(fā)表成果。

葉和溪結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)方法，證明了數(shù)論中一個(gè)非常重要的問(wèn)題。

動(dòng)力系統(tǒng)，主要研究空間中所有點(diǎn)隨時(shí)間變化的情況。這門(mén)學(xué)科最著名的便是“蝴蝶效應(yīng)”中的洛倫茨吸引子。

△洛倫茨吸引子

然而數(shù)論，研究的卻是整數(shù)的性質(zhì)。

這兩個(gè)看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及的領(lǐng)域，被數(shù)學(xué)家們巧妙地被結(jié)合到一起。

它們是怎么聯(lián)系起來(lái)的，首先還得從兩個(gè)方程說(shuō)起。

兩個(gè)方程

• 1、y2=x3+ax+b
• 2、f(z)=z2+c

第一個(gè)方程表示橢圓曲線，當(dāng)a和b不斷變化時(shí)，橢圓曲線形狀各不相同，就像是從曲線中擠出一個(gè)“氣泡”。

橢圓曲線是數(shù)論中的重要工具，數(shù)學(xué)家證明費(fèi)馬大定理就用到了它。

在橢圓曲線上，你甚至可以對(duì)兩個(gè)點(diǎn)做加法。

假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)P、Q，那么PQ連線與曲線的第三個(gè)交點(diǎn)R對(duì)x軸的鏡像點(diǎn)，就是P+Q。R的鏡像點(diǎn)記為-R，即-R=P+Q。

因?yàn)闄E圓曲線是上下對(duì)稱的，所以P+Q也一定在橢圓曲線上。

那么P點(diǎn)和它自己相加（P+P）怎么計(jì)算？

想象一下Q點(diǎn)越來(lái)越靠近P點(diǎn)，最后PQ兩點(diǎn)的連線就變成P點(diǎn)處的切線，所以P+P就是這個(gè)切線與橢圓曲線交點(diǎn)的鏡像點(diǎn)。

如果P點(diǎn)反復(fù)加上自己，經(jīng)過(guò)有限次加法后（P+P+……+P）又回到P點(diǎn)，那么P就叫做“撓點(diǎn)”（torsion point）。

再看第二個(gè)方程數(shù)學(xué)公式: f(z)=z^2+c，它不是二次曲線，而是與另一門(mén)數(shù)學(xué)分支動(dòng)力系統(tǒng)有關(guān)。

z在這里不是實(shí)數(shù)，而是實(shí)數(shù)+虛數(shù)。如果我們畫(huà)出一個(gè)平面坐標(biāo)，橫坐標(biāo)代表它的實(shí)數(shù)部分，縱坐標(biāo)代表它的虛數(shù)部分，z就是一個(gè)點(diǎn)。

我們把z、f(z)兩個(gè)點(diǎn)畫(huà)在這個(gè)平面上，再把f(z)帶入方程得到f(f(z))，然后再得到f(f(f(z)))……

如此“無(wú)限套娃”操作，把所有的點(diǎn)都畫(huà)出來(lái)，可以得到以下圖形。

有些人可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這不就是分形嗎，怎么和橢圓曲線聯(lián)系起來(lái)了？

上面的圖形范圍有限，說(shuō)明某些z值在經(jīng)過(guò)無(wú)限套娃后，還是有限的數(shù)值。

假設(shè)c=-1，z的初始值為2，那么得到的數(shù)字組合是2、3、8、63……，這組數(shù)會(huì)一直增大；如果z的初始值是0，那么接來(lái)下的數(shù)分別是-1、0、-1、0……，會(huì)一直循環(huán)下去。

對(duì)于第二種情況，無(wú)限次迭代后的每個(gè)點(diǎn)都在有限范圍內(nèi)，這些有限范圍內(nèi)的點(diǎn)組成的集合，就是“朱利亞集合”（Julia set）。

在動(dòng)力系統(tǒng)中，像-1、0、-1、0……這樣，不僅范圍有限，還能夠回到起點(diǎn)的一組點(diǎn)，稱為“有限軌道點(diǎn)”（finite orbit point）。

這樣，橢圓曲線就和動(dòng)力系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)了，有限軌道點(diǎn)便是橢圓曲線上撓點(diǎn)的模擬。

葉和溪的導(dǎo)師DeMarco說(shuō)：“橢圓曲線上的撓點(diǎn)與某個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的有限軌道點(diǎn)相同，這就是我們?cè)谡撐闹蟹磸?fù)使用的內(nèi)容?！?/p>

證明數(shù)學(xué)猜想

但這三位數(shù)學(xué)家研究的問(wèn)題——Manin-Mumford猜想——比上面復(fù)雜得多。

Manin-Mumford猜想是比橢圓曲線更復(fù)雜的曲線，例如y^2 = x^6 + x^4 + x^2 ?1，每個(gè)不同參數(shù)的曲線都與一個(gè)幾何體關(guān)聯(lián)。

Manin-Mumford猜想于1983年被Raynaud證明，即虧格（genus）大于1的任意光滑代數(shù)曲線上至多只有有限個(gè)撓點(diǎn)。

對(duì)于封閉的有向曲面而言，虧格就是曲面的“洞”數(shù)量。

橢圓曲線對(duì)應(yīng)的幾何體是虧格為1的“甜甜圈”。

葉和溪等人將Manin-Mumford猜想又推進(jìn)了一步，他與Holly Krieger、Laura DeMarco一起，結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)證明了，在虧格為2的情況下，光滑代數(shù)曲線撓點(diǎn)數(shù)量不僅有限，而且具有一致上界。

與橢圓曲線不同的是，Manin-Mumford猜想中的復(fù)雜曲線不具備允許做加法的結(jié)構(gòu)。

但是它們對(duì)應(yīng)的幾何體卻都可以做加法，而且像橢圓曲線一樣具有撓點(diǎn)。

他們給出了待求的特定曲線簇的解的形狀：像是兩個(gè)甜甜圈的表面（虧格為2）。

其中，每個(gè)“甜甜圈”代表一個(gè)橢圓曲線。

而要證明撓點(diǎn)數(shù)量的上限，就需要計(jì)算出橢圓曲線上撓點(diǎn)之間的相交點(diǎn)數(shù)量。

然而這兩條橢圓曲線上的撓點(diǎn)不可能直接比較，因?yàn)樗鼈儾灰欢ㄖ丿B。

幾位學(xué)者想出了一種方法：比較它們是否在“甜甜圈”上各自處于相同的相對(duì)位置。

他們將兩條橢圓曲線的解各自繪制在一張平面圖上，以此來(lái)比較撓點(diǎn)的位置。

接下來(lái)，只需要計(jì)算這些點(diǎn)重疊的次數(shù)，就能給Manin-Mumford猜想一個(gè)明確的上界了。

這里，便是動(dòng)力系統(tǒng)需要發(fā)揮作用的地方。

他們利用動(dòng)力系統(tǒng)，證明了這些點(diǎn)只能重合特定的次數(shù)，而且這一次數(shù)確實(shí)存在——即Manin-Mumford猜想的上界確實(shí)存在。

對(duì)于他們的證明，來(lái)自加拿大約克大學(xué)的助理教授Patrick Ingram表示：

他們成功證明了一個(gè)特殊問(wèn)題。此前，這個(gè)問(wèn)題一直被歸類于數(shù)論中，沒(méi)人認(rèn)為它與動(dòng)力系統(tǒng)有關(guān)。這確實(shí)引起了極大的轟動(dòng)。

與導(dǎo)師舊友一同解決重要猜想

事實(shí)上，猜想證明背后的三位學(xué)者，彼此也是導(dǎo)師與舊友的關(guān)系。

這其中，葉和溪與論文作者Holly Krieger，都曾經(jīng)是Laura DeMarco的學(xué)生。

△Holly Krieger

2013年，他們?cè)诤笳叩闹笇?dǎo)下，獲得了伊利諾伊大學(xué)芝加哥分校的博士學(xué)位。

在這之后，Laura DeMarco如今已是哈佛大學(xué)教授，而Holly Krieger也已經(jīng)成為一名劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)講師。

△Laura DeMarco

葉和溪?jiǎng)t選擇了回國(guó)，成為浙江大學(xué)的數(shù)學(xué)系研究員。

但這期間，他們并未停止共同研究的步伐。

2017年，葉和溪就曾與Laura DeMarco、Holly Krieger一起，研究了動(dòng)力系統(tǒng)中有界高度的問(wèn)題，成果于2019年發(fā)表。

而在2019年，繼證明Manin-Mumford一致猜想之后，他們也對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)中的另一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了深入探討，并采用了類似的研究方法。

目前，這篇文章以預(yù)印本的形式發(fā)表。

2020年4月15日，他們證明的Manin-Mumford一致猜想，最終成功刊登在《數(shù)學(xué)年刊》上。

中科大03級(jí)數(shù)學(xué)人才“井噴”

在這次研究中做出不少貢獻(xiàn)、來(lái)自浙江大學(xué)的研究員葉和溪，高中曾就讀于福建省建甌第一中學(xué)。

2003年，葉和溪進(jìn)入中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)。

△ 圖源：公眾號(hào)@中國(guó)科大本科招生

本科畢業(yè)后，葉和溪選擇出國(guó)深造，研究方向就是數(shù)學(xué)中的動(dòng)力系統(tǒng)。

2013年，他在導(dǎo)師Laura DeMarco的指導(dǎo)下，完成了博士學(xué)位，畢業(yè)于伊利諾伊大學(xué)芝加哥分校。

在這之后，他曾經(jīng)先后在多倫多大學(xué)、英屬哥倫比亞大學(xué)從事博士后研究工作。

完成學(xué)術(shù)研究后，葉和溪于2016年回國(guó)任教。

與葉和溪一同入學(xué)的中科大數(shù)學(xué)系校友，也是人才輩出。

其中，至少5位學(xué)者的研究，再世界“四大數(shù)學(xué)頂刊”上發(fā)表過(guò)論文。

葉和溪同班同學(xué)郟浩、劉博、申述、張享文，也都已經(jīng)在《數(shù)學(xué)發(fā)明》上各發(fā)表一篇論文。

還有許多與葉和溪、劉博一樣學(xué)成歸來(lái)的學(xué)子，如魯汪濤、馬杰、熊濤、張振、仲杏惠等中科大校友，毅然決然地放棄了國(guó)外的條件，回到國(guó)內(nèi)繼續(xù)從事數(shù)學(xué)研究。

△ 圖源：公眾號(hào)@中國(guó)科大本科招生

對(duì)于2003級(jí)學(xué)子在數(shù)學(xué)上取得的成就，中國(guó)科學(xué)院院士、南開(kāi)大學(xué)陳省身數(shù)學(xué)研究所張偉平由衷地表示自豪：

事實(shí)證明，科大的學(xué)生不管考第幾，到哪里都是一塊好料。在同一個(gè)班就有這么多杰出的人才涌現(xiàn)，殊為罕見(jiàn)。

論文地址：
https://arxiv.org/abs/1901.09945

參考鏈接：
[1] https://www.quantamagazine.org/with-arithmetic-dynamics-mathematicians-unlock-new-insights-20210222/
[2] http://www.math.zju.edu.cn/2020/0422/c38119a2087975/page.htm
[3] https://mp.weixin.qq.com/s/m0iFwivlfmSDKdfltR_Flw
[4] https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnx5ZWhleGltYXRofGd4OjQ3ZjkzYjc5YjcwNTYxOTA
[5] https://arxiv.org/abs/1511.06081