只用300小時(shí)，17歲高中生解開(kāi)困擾數(shù)學(xué)家27年難題，因張益唐「入坑」數(shù)論

魚羊 2022-10-15 11:51:26 來(lái)源：量子位

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量子位 | 公眾號(hào) QbitAI

只因在電視上多看了一眼數(shù)學(xué)家張益唐的紀(jì)錄片，中學(xué)生開(kāi)始沉迷數(shù)論，還獨(dú)立發(fā)表了一篇“博士級(jí)別”數(shù)學(xué)論文。

解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還是曾難住3位正經(jīng)數(shù)學(xué)家整整27年的那種。

當(dāng)這3位數(shù)學(xué)家中的卡爾·波梅蘭斯（Carl Pomerance）本人，看到這篇出自17歲少年之手的論文時(shí)，也不禁感慨：

這是一篇會(huì)讓任何一位數(shù)學(xué)家都為之自豪的論文。

△圖源：Quantamagazine

少年名叫丹尼爾·拉森（Daniel Larsen）。

就在今年，他這篇有關(guān)卡邁克爾數(shù)的論文，已經(jīng)正式發(fā)表在《國(guó)際數(shù)學(xué)研究通告》上，還為他贏得了10萬(wàn)美元（約合人民幣72萬(wàn)元）獎(jiǎng)學(xué)金。

他本人也告別高中生活，成為了麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)的大一新生。

事實(shí)上，丹尼爾本人在家鄉(xiāng)早已是小有名氣的“神童”：

一家子都是數(shù)學(xué)家，他本人13歲就在《紐約時(shí)報(bào)》上發(fā)表過(guò)填字游戲，是這個(gè)項(xiàng)目史上最年輕作者。

看上去一路順風(fēng)順?biāo)?，但在與外界交流時(shí)，他卻說(shuō)，自己做啥都“像是在掙扎”。

還自曝：喜歡走捷徑。

因張益唐“入坑”數(shù)論，屢挫屢戰(zhàn)

正如開(kāi)頭所說(shuō)，丹尼爾和數(shù)論的緣分，始于一部有關(guān)張益唐的紀(jì)錄片。

張益唐是傳奇美籍華裔數(shù)學(xué)家，因“孿生素?cái)?shù)猜想”一舉成名。但在功成名就之前，張益唐的經(jīng)歷可謂半生潦倒：

博士畢業(yè)后因未拿到導(dǎo)師推薦信，學(xué)術(shù)道路坎坷，甚至不得不靠快餐店收銀員等工作糊口。

但即便如此，張益唐也并未放棄對(duì)數(shù)論的鉆研，直到58歲終于大器晚成。

△張益唐，圖源：北京大學(xué)招生網(wǎng)

或許正是這種對(duì)數(shù)論的執(zhí)著觸動(dòng)了丹尼爾。他開(kāi)始抑制不住地在腦海中不斷思考數(shù)論。

一開(kāi)始，他同樣把目光瞄向了“孿生素?cái)?shù)猜想”：張益唐的成果首次證明了存在無(wú)窮多對(duì)間隔有限的質(zhì)數(shù)，但他證明的間隔是7000萬(wàn)，這個(gè)數(shù)字仍可以進(jìn)一步縮小。

陶哲軒和今年的新晉菲爾茲獎(jiǎng)得主詹姆斯·梅納德，就都做過(guò)這方面的工作。

雖然只是一名中學(xué)生，丹尼爾還是試圖通過(guò)閱讀張益唐、陶哲軒和梅納德在這一問(wèn)題上發(fā)表的論文，搞清楚背后的數(shù)學(xué)原理。

但最終他不得不承認(rèn)：

這對(duì)我來(lái)說(shuō)幾乎是不可能的。他們的論文太復(fù)雜了。

盡管如此，丹尼爾并沒(méi)有被當(dāng)場(chǎng)勸退。相反，他一頭扎進(jìn)了數(shù)論論文的海洋，堅(jiān)持尋找能激發(fā)他靈感的那一個(gè)“巨人的肩膀”。

終于在2021年2月，17歲的丹尼爾·拉森和卡邁克爾數(shù)邂逅了。

△圖源：THE SOCIETY FOR SCIENCE

300小時(shí)攻克數(shù)論難題

卡邁克爾數(shù)的定義是：

一個(gè)正合數(shù)n，對(duì)于所有跟n互質(zhì)的整數(shù)b，b^n-b都是n的倍數(shù)，那么n就是一個(gè)卡邁克爾數(shù)。

根據(jù)費(fèi)馬小定理，所有質(zhì)數(shù)都具備這種特質(zhì)，因此卡邁克爾數(shù)又被稱為“偽質(zhì)數(shù)”。

在1899年，數(shù)學(xué)家Alwin Korselt還提出了一種卡邁克爾數(shù)的等效定義，當(dāng)正合數(shù)n滿足以下三個(gè)性質(zhì)時(shí)：

1. 必須包含不止一個(gè)質(zhì)因數(shù)；
2. 質(zhì)因數(shù)均不重復(fù)；
3. 對(duì)于每一個(gè)能被n整除的質(zhì)數(shù)p，p-1也可以被n-1整除

它就是一個(gè)卡邁克爾數(shù)。

舉個(gè)例子，最小的卡邁克爾數(shù)是561，561=3×11×17，而2、10和16均能被560整除。

1994年，雷德·阿爾福德（Red Alford）、安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville），以及前文提到的卡爾·波梅蘭斯三位數(shù)學(xué)家，在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文，證明了卡邁克爾數(shù)有無(wú)窮多個(gè)。

但當(dāng)他們?cè)噲D證明這無(wú)窮多個(gè)卡邁克爾數(shù)之間的間隔時(shí)，新的困難出現(xiàn)了。

三位數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為這樣一種證明：給定一個(gè)足夠大的數(shù)字X，在X和2X之間一定存在一個(gè)卡邁克爾數(shù)。

遺憾的是，從1994年到2021年的27年之間，并沒(méi)有人完成這個(gè)證明。

難度可想而知。因此當(dāng)?shù)つ釥柕陌职帧〉诎布{大學(xué)路明頓分校數(shù)學(xué)教授邁克爾·拉森（Michael Larsen）得知兒子想要攻克這個(gè)問(wèn)題時(shí)，他的第一反應(yīng)是“這可能會(huì)變成一段負(fù)面經(jīng)歷”。

但丹尼爾的反應(yīng)卻是：

你的意思是我仍有10%的機(jī)會(huì)！

于是，他堅(jiān)定地投身其中。并且在約300個(gè)小時(shí)（12.5天）的努力之后，他的論文出爐了。

前面說(shuō)到，一開(kāi)始接觸數(shù)論，丹尼爾就研究過(guò)陶哲軒和梅納德的論文。而在這個(gè)有關(guān)卡邁克爾數(shù)的證明上，他巧妙地站在了前輩的肩膀上。

他修改了梅納德在證明孿生素?cái)?shù)間隔時(shí)的用到的方法，將之與阿爾福德、格蘭維爾和波梅蘭斯的方法相結(jié)合。如此一來(lái)，就能夠確保他最終得到足以產(chǎn)生卡邁克爾數(shù)的素?cái)?shù)區(qū)間。

實(shí)際上，這篇論文不僅證明了卡邁克爾數(shù)一定會(huì)出現(xiàn)在X和2X之間，其證明方法還適用于更小的間隔。

另一位致力于偽質(zhì)數(shù)研究的數(shù)學(xué)家、沃福德學(xué)院的Thomas Wright就表示，“這篇論文改變了研究卡邁克爾數(shù)的許多事情”。

值得一提的是，卡邁克爾數(shù)與密碼學(xué)和通信安全息息相關(guān)。

最典型的非對(duì)稱加密算法RSA中，生成公鑰的第一步就是選取一對(duì)很大的隨機(jī)質(zhì)數(shù)。

而當(dāng)數(shù)字比較大時(shí)，想要判斷其是否為質(zhì)數(shù)就很麻煩，也很容易與其它數(shù)字混淆。這時(shí)候，卡邁克爾數(shù)的相關(guān)研究就能派上用場(chǎng)了。

出身數(shù)學(xué)世家

如果說(shuō)與數(shù)論的機(jī)緣是從張益唐的紀(jì)錄片開(kāi)始，那么丹尼爾與數(shù)學(xué)的緣分在他更小的時(shí)候就已經(jīng)顯現(xiàn)。

這與他的家庭氛圍息息相關(guān)。

丹尼爾出身數(shù)學(xué)世家，父母都是印第安納大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，他在濃厚的數(shù)學(xué)氛圍下長(zhǎng)大。

他的父親邁克爾·拉森是1977的IMO（國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）金牌得主，本科畢業(yè)于哈佛大學(xué)，后于普林斯頓大學(xué)取得博士學(xué)位。

2013年，邁克爾·拉森因“對(duì)群論、數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)幾何的貢獻(xiàn)”而成為美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員。

△圖源：印第安納大學(xué)

丹尼爾4歲的時(shí)候，父親組織了一個(gè)“數(shù)學(xué)圈”，周六下午為當(dāng)?shù)睾⒆娱_(kāi)設(shè)免費(fèi)小組，談?wù)撘恍┠茏尯⒆觽儗?duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的古怪話題，丹尼爾也參與其中。

在這樣的培養(yǎng)之下，丹尼爾從小就對(duì)解謎感興趣，并且雖然不太喜歡打游戲，但卻很喜歡鼓搗電腦，去鉆研游戲背后的工作機(jī)制。

12歲時(shí)，丹尼爾就寫出了填字游戲生成軟件，并且13歲就在《紐約時(shí)報(bào)》發(fā)表了自己的作品，到現(xiàn)在還保持著“最年輕作者”的記錄。

△右一丹尼爾，圖源：indianapolismonthly

實(shí)際上，在丹尼爾研究卡邁克爾數(shù)時(shí)，他的父親就是他的第一任導(dǎo)師。

雖然父親并不對(duì)兒子搞定這么難的數(shù)學(xué)問(wèn)題抱太大希望，但他還是給予了兒子情感上的支持，并且以對(duì)待博士生的態(tài)度來(lái)指導(dǎo)兒子。

值得一提的是，丹尼爾的姐姐安妮也是“數(shù)學(xué)神童”，她在高中時(shí)就已經(jīng)開(kāi)始學(xué)習(xí)印第安納大學(xué)研究生水平的數(shù)學(xué)課程。現(xiàn)在，安妮正在MIT攻讀數(shù)學(xué)博士學(xué)位。

從小在數(shù)學(xué)的熏陶下長(zhǎng)大，丹尼爾自己也逐漸形成了對(duì)數(shù)學(xué)的一套理解。

他認(rèn)為現(xiàn)如今互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代削弱了人們的社區(qū)意識(shí)以及共同目標(biāo)，人們與外界的聯(lián)系越來(lái)越少，這形成一個(gè)“元問(wèn)題”，阻礙了其他問(wèn)題的解決。

而丹尼爾將這視作數(shù)學(xué)的另外一面，稱數(shù)學(xué)可以建立共識(shí)，它充滿了和諧與統(tǒng)一。他還說(shuō)：“上帝是個(gè)數(shù)學(xué)家?！?/p>

偶爾躺平的“小數(shù)學(xué)家”

數(shù)學(xué)之外，丹尼爾可謂興趣廣泛，小提琴、鋼琴、魔方、國(guó)際象棋等均有涉獵。

△圖源：Quantamagazine

他小時(shí)候就能夠45秒內(nèi)解出一個(gè)魔方，并且還設(shè)計(jì)了一個(gè)樂(lè)高機(jī)器人，可以把銅便士和鋅便士分開(kāi)。

不過(guò)“少年天才”的光環(huán)之外，丹尼爾也像其他年輕人一樣，喜歡偶爾躺平，喜歡走“捷徑”。

就比如說(shuō)，丹尼爾不太喜歡夏天，一到夏天，他的心情就開(kāi)始低落，即使在研究卡邁克爾數(shù)也會(huì)這樣，那時(shí)他暫時(shí)“撂下挑子”，去看了夏季奧運(yùn)會(huì)。

甚至還自述有過(guò)這種情況：

感覺(jué)冷但是就是懶得拿外套。

想看黑板上的字，但離得有點(diǎn)遠(yuǎn)就沒(méi)過(guò)去看。

并且當(dāng)被問(wèn)到“不擅長(zhǎng)什么時(shí)”，丹尼爾表示自己“做什么都像是在掙扎”。

我經(jīng)常選擇阻力最小的道路。如果我對(duì)某種情況感到不快，我可能并不會(huì)積極地去處理它。

目前，丹尼爾已經(jīng)步入了麻省理工的校園，他同樣面臨著和大多數(shù)人一樣的迷茫，不確定下一步要解決什么：

我只是在上課…… 并試圖保持開(kāi)放的心態(tài)。

— 完 —