陶哲軒「他的證明比我強(qiáng)」，這個(gè)天才青年解決了最簡單的數(shù)學(xué)難題

蕭簫 2020-08-02 12:51:31 來源：量子位

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傳奇數(shù)學(xué)家張益唐之后，又有一位跟「孿生素?cái)?shù)猜想」有關(guān)的數(shù)學(xué)家，摘下了「數(shù)論界最高獎(jiǎng)」柯爾獎(jiǎng)。

26歲時(shí)，他不僅將猜想中素?cái)?shù)間隔的上限由7000萬降到了600，大幅優(yōu)化了張益唐的結(jié)果，還被陶哲軒親口稱贊：

說實(shí)話，他的描述方式實(shí)際上比我的更干凈……事實(shí)證明他的說法還略強(qiáng)。

而就在拿下柯爾獎(jiǎng)前不久，這位來自牛津大學(xué)的青年數(shù)學(xué)家James Maynard，又和另一位數(shù)學(xué)家合作，攻下了一個(gè)困擾數(shù)學(xué)家們將近80年的難題——

Duffin-Schaeffer猜想。

這一用有理數(shù)逼近無理數(shù)的問題，對于丟番圖逼近領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家來說，幾乎可以說是最基礎(chǔ)、最關(guān)鍵的問題之一。

改進(jìn)張益唐最佳結(jié)果

張益唐一舉成名，是因?yàn)椤笇\生素?cái)?shù)猜想」。

猜想聽起來很簡單：證明存在無窮多對間隔為「有限」的質(zhì)數(shù)。

只不過，張益唐證明的間隔為7000萬，而這位數(shù)學(xué)家，James Maynard，直接將這個(gè)間隔縮小到了600。

基于James Maynard的方法，有團(tuán)隊(duì)再次將間隔縮小到了246，并推測間隔還能更小，可以說，他的方法帶來了里程碑上的突破。

差不多是在同時(shí)，大洋彼岸的陶哲軒也在同一問題上，得出了基本相同的結(jié)果。

據(jù)QuantaMagazine報(bào)道，當(dāng)時(shí)，James Maynard還是名博士后，并沒有多大名氣。

但在讀過James Maynard的證明方法后，陶哲軒認(rèn)為，其證明方法比自己的更簡潔。

出于惜才之心，陶哲軒主動(dòng)放棄了與他一同發(fā)表這項(xiàng)研究的機(jī)會(huì)，以免自己的名氣掩蓋了年輕數(shù)學(xué)家的成就。

而事實(shí)證明，James Maynard確實(shí)潛力無窮。

△?James Maynard在思考質(zhì)數(shù)問題

在他獲得博士學(xué)位后的數(shù)年中，他在數(shù)論領(lǐng)域的長足進(jìn)步，使得他聲名鵲起。2017年，時(shí)年30歲的他受聘成為牛津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授。

作為一名數(shù)論學(xué)家，他最新的「戰(zhàn)績」，是解決了一個(gè)曾困擾數(shù)學(xué)家們近80年的難題：Duffin-Schaeffer猜想。

搞定Duffin-Schaeffer猜想

Duffin-Shaeffer猜想是度量丟番圖逼近中的一個(gè)重要猜想，由物理學(xué)家Richard Duffin和數(shù)學(xué)家Albert Schaeffer在1941年提出。

所謂丟番圖逼近，是數(shù)論的一個(gè)分支，研究的是用有理數(shù)逼近實(shí)數(shù)。

我們知道，大部分的實(shí)數(shù)都是π、√2這樣的無理數(shù)，它們是無法用分?jǐn)?shù)來表示的。

Duffin和Schaeffer提出的猜想是這樣的：

假設(shè) f：N→R≥0是具有正值的實(shí)值函數(shù)，只有當(dāng)級數(shù)

是發(fā)散的（q>0，φ(q)為歐拉函數(shù)，表示比q小且與q互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)），對于無理數(shù) α 而言，就存在無窮多個(gè)有理數(shù)，滿足不等式 | α-(p/q) |< f(q)/q。

也就是說，在尋找近似值的時(shí)候，先不考慮分子，而是從自然數(shù)中選出無窮多個(gè)數(shù)字作為分母。

然后，基于分母序列和指定的近似精度范圍，來選擇分子。

結(jié)果就是，如果無窮級數(shù)發(fā)散，就意味著已經(jīng)近似了所有無理數(shù)；否則，就沒有實(shí)現(xiàn)對任何無理數(shù)的近似。

這一猜想在有理近似中，普遍被數(shù)學(xué)家們認(rèn)為是正確的標(biāo)準(zhǔn)，但如何證明它，卻成為了困擾數(shù)學(xué)家們將近80年的問題。

而James Maynard和蒙特利爾大學(xué)的Dimitris Koukoulopoulos合作，用44頁紙的論文一舉證明了這一猜想。

在他們的證明中，他們用分母創(chuàng)建了一個(gè)圖：把分母繪制成圖上的點(diǎn)，如果兩個(gè)點(diǎn)有許多共同的質(zhì)因數(shù)，就用線將兩點(diǎn)連接起來。

這樣一來，圖的結(jié)構(gòu)就編碼了每個(gè)分母所近似的無理數(shù)之間的重疊。原本這種重合度是難以直接測定的。

利用這種方法，他們證明了Duffin-Schaeffer猜想確實(shí)是正確的。

△圖源：QuantaMagazine

QuantaMagazine對此評價(jià)道：

這是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最罕見的壯舉之一：Koukoulopoulos 和 Maynard 給出了自己研究的領(lǐng)域中基本問題的最終答案。

Duffin-Schaeffer猜想，這個(gè)世紀(jì)以來曾多次有數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，但都以失敗告終的問題，最終能被James Maynard所解決，看似出乎意料，實(shí)則在情理之中。

畢竟，James Maynard一直很「叛逆」。

鋒芒畢露：叛逆的天才

出生在人文氣息濃厚的家庭氛圍里，James Maynard唯獨(dú)對數(shù)學(xué)情有獨(dú)鐘，學(xué)習(xí)中也表現(xiàn)得有點(diǎn)「離經(jīng)叛道」：

據(jù)QuantaMagazine報(bào)道，一次物理考試中，規(guī)定如果不給計(jì)算過程，答案即使全對，也只有滿分的?。

為了抗議，James Maynard所有的題目都只寫了答案，全對，但只拿了不到一半的分?jǐn)?shù)。

不僅學(xué)習(xí)上如此，學(xué)術(shù)研究上也是如此。

在面對那些讓人感興趣的問題時(shí)，James Maynard的第一反應(yīng)都是：為什么不試試？

即使那些問題在學(xué)術(shù)界看來難以解決，在他這里也不是絆腳的理由。

當(dāng)初在證明「孿生素?cái)?shù)猜想」時(shí)，James Maynard就曾得到過導(dǎo)師的警告：「我確信你無法解決這個(gè)問題，所以你沒必要全力以赴?！?/p>

但這恰恰與James Maynard「一不做，二不休」的人生信條相反。

面對導(dǎo)師的告誡，這位年輕叛逆的數(shù)學(xué)家只是聳聳肩，然后全身心地投入到數(shù)學(xué)研究中，最終完美地證明了這個(gè)問題，而這次的Duffin-Schaeffer猜想證明亦是如此。

除此之外，他還解決過幾個(gè)質(zhì)數(shù)相關(guān)的「簡單」問題，聽起來簡單，論證卻無比麻煩，感興趣的同學(xué)們，不妨來試試：

1、不含數(shù)字「7」的質(zhì)數(shù)有無限個(gè)。

2、不含「0-9」中任何一個(gè)給定數(shù)字的質(zhì)數(shù)有無限個(gè)。

這個(gè)本碩于劍橋完成、并在牛津獲得博士學(xué)位的天才數(shù)學(xué)家，年僅33歲就已獲得過拉馬努金獎(jiǎng)（2014）、高級懷特海獎(jiǎng)（2015）、歐洲數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)獎(jiǎng)（2016）等各大獎(jiǎng)項(xiàng)，今年又獲得了號稱「數(shù)論界最高獎(jiǎng)」的柯爾數(shù)論獎(jiǎng)。

未來這位數(shù)論學(xué)家還會(huì)繼續(xù)解決哪些問題，值得我們期待。

參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/james-maynard-solves-the-hardest-easy-math-problems-20200701/
https://en.wikipedia.org/wiki/JamesMaynard(mathematician)
https://www.scientificamerican.com/article/new-proof-solves-80-year-old-irrational-number-problem/