沒解決這個(gè)7次方程問題，為何這三個(gè)數(shù)學(xué)家卻很開心
一個(gè)早在1957年被“半解決”的問題……
曉查 發(fā)自 凹非寺
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一次求解希爾伯特第13個(gè)問題的“失敗”工作，非但沒有讓芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)教授本森·法布（Benson Farb）感到沮喪，反而讓他覺得很高興。
還不止是他，與他合作的另外兩位數(shù)學(xué)家也對(duì)此表示：喜聞樂見。
因?yàn)榍蠼庀柌氐?3個(gè)問題的失敗，芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)教授本森·法布（Benson Farb）不但沒有感到沮喪，反而很高興，而且與他合作的另外兩位數(shù)學(xué)家也為此高興。
△ Benson Farb
沒想到，這個(gè)早在1957年被“半解決”的問題，現(xiàn)在卻把研究多項(xiàng)式、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)論的三位數(shù)學(xué)家聯(lián)系起來(lái)。
只因?yàn)檫@一次失敗，他們打開了新通向新數(shù)學(xué)世界的大門，為自己的研究領(lǐng)域找到了新的工具。
希爾伯特第13個(gè)問題
還是先從希爾伯特第13個(gè)問題本身說(shuō)起。
1900年，著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問題，被看作指引了此后數(shù)學(xué)界一百多年的發(fā)展。
△ 1900年的大衛(wèi)·希爾伯特
希爾伯特第13個(gè)問題只是這23道題其中之一，它的內(nèi)容是這樣的：
7次方程的解，能否用兩個(gè)變量的函數(shù)的組合表示？
受過(guò)九年義務(wù)教育的朋友，應(yīng)該都背過(guò)二次方程
的求根公式
至于三次方程
的解，中學(xué)數(shù)學(xué)沒有教，因?yàn)樗鼘?shí)在太復(fù)雜了：
隨著方程次數(shù)的增加，求根公式的復(fù)雜度也急劇增加。那么我們有沒有可能寫出4次、5次、6次乃至7次方程的求根公式？
阿貝爾-魯菲尼定理告訴我們，5次以及更高次的多項(xiàng)式方程，并不存在“一般意義”的求根公式。
這個(gè)所謂的“一般”在數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格定義，就是只包含只能包含加減乘除以及乘方、開方6種運(yùn)算。
所以七次方程的“一般”求根公式顯然也是不存在的。而希爾伯特所說(shuō)的求根公式，比“一般”要寬松一些。
經(jīng)過(guò)一系列變換后，7次方程可以簡(jiǎn)化為如下的形式：
其中a、b、c都是復(fù)數(shù)，方程的解應(yīng)該是a、b、c的函數(shù)，即x=f(a,b,c)。希爾伯特的意思是：
這個(gè)三元變量函數(shù)能否能表示為二元變量函數(shù)的組合。
三個(gè)數(shù)學(xué)家聯(lián)手
1957年，兩位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家安德烈·柯爾莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov,）和他當(dāng)時(shí)只有19歲的學(xué)生弗拉基米爾·阿諾德（Vladimir Arnold）證明了，7次方程的解可以簡(jiǎn)化為兩個(gè)變量的連續(xù)函數(shù)的疊加。
△ 1957年的弗拉基米爾·阿諾德
可能希爾伯特并不關(guān)心這個(gè)結(jié)果。因?yàn)楹芏鄶?shù)學(xué)家認(rèn)為，希爾伯特所說(shuō)的函數(shù)，應(yīng)該是代數(shù)函數(shù)，而非連續(xù)函數(shù)。
在數(shù)學(xué)界，希爾伯特問題只能說(shuō)被“半解決”了。
而阿諾德和他的導(dǎo)師柯爾莫哥洛夫也不是完全為了解決希爾伯特的問題，只是以他倆名字命名的“Kolmogorov-Arnold表示定理”的附帶結(jié)果。
這條定理激發(fā)了很多數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)理論和其他相關(guān)問題進(jìn)行的許多研究。
法布也在其中找到了解決自己?jiǎn)栴}的法寶。5年前，法布看到阿諾德的一篇文章，這位著名的數(shù)學(xué)家對(duì)他的工作和職業(yè)進(jìn)行了反思。
△ 阿諾德近況
法布驚訝地發(fā)現(xiàn)，自己研究的問題就在阿諾德求解希爾伯特第13個(gè)問題的方法中。
雖然數(shù)學(xué)家們還沒有完全解決希爾伯特第13個(gè)問題，但是從中發(fā)現(xiàn)已經(jīng)消失的數(shù)學(xué)策略，探索了這個(gè)問題與各種領(lǐng)域之間的聯(lián)系，其中包括復(fù)雜分析、拓?fù)?、?shù)論、表示論和代數(shù)幾何。
5年前，法布與當(dāng)時(shí)還是博士后的杰西·沃爾夫森（Jesse Wolfson）進(jìn)行拓?fù)漤?xiàng)目的合作。
2017年，在慶祝法布50歲生日的研討會(huì)上，他的老朋友馬克·基辛（Mark Kisin）聽到了沃爾夫森的演講，并驚訝地意識(shí)到，這兩位關(guān)于多項(xiàng)式的思想，正與他自己的數(shù)論研究中的問題有關(guān)。于是他加入了合作。
視覺思考打開新世界的大門
法布說(shuō)，希爾伯特的第13個(gè)問題是數(shù)學(xué)中最基本的公開問題之一，因?yàn)樗l(fā)了深層次的問題：多項(xiàng)式有多復(fù)雜，我們?cè)撊绾魏饬浚?/p>
用圖形的方式能夠最直觀地理解多項(xiàng)式。在解析幾何里，多項(xiàng)式可以繪制成曲線，方程越高階產(chǎn)生的曲線越復(fù)雜，求解方程實(shí)際上就是找到這條曲線與x軸的交點(diǎn)。
而具有多個(gè)變量的多項(xiàng)式，則對(duì)應(yīng)著更高維度中的曲面。通過(guò)研究這些曲面的性質(zhì)，數(shù)學(xué)家們可以進(jìn)一步了解多項(xiàng)式。
結(jié)果就是，許多理解多項(xiàng)式的努力都來(lái)自代數(shù)幾何和拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué)專注于圖形在投影、變形、壓縮、拉伸或以其他方式變形而不會(huì)斷裂時(shí)發(fā)生的情況。
希爾伯特本人就是將幾何方法用于研究其他問題的高手。
1900年他提出23個(gè)問題時(shí)，數(shù)學(xué)家已經(jīng)有了許多簡(jiǎn)化多項(xiàng)式的技巧，但是仍然無(wú)法取得進(jìn)展。
1927年，希爾伯特描述了一個(gè)新的技術(shù)。他首先確定了簡(jiǎn)化九次多項(xiàng)式的所有可能方法，然后在其中發(fā)現(xiàn)了一系列特殊的三次曲面。
希爾伯特知道，每個(gè)光滑的三次曲面（由三次多項(xiàng)式定義）都精確地包含27條直線，無(wú)論這個(gè)曲面看起來(lái)有多扭曲。（這些直線會(huì)隨多項(xiàng)式系數(shù)的變化而變化。）
他意識(shí)到，如果知道這些直線中的一條，就可以簡(jiǎn)化9階多項(xiàng)式，并找到9次方程的根。
這個(gè)求根公式只需要四個(gè)參數(shù)的函數(shù)。用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)叫解析度（resolvent degree）為4。所謂的解析度就是描述某個(gè)多項(xiàng)式方程函數(shù)的最少自變量數(shù)目。
對(duì)于7次方程而言，其解析度為2。
希爾伯特的方法說(shuō)明，可以利用幾何世界的工具將9階多項(xiàng)式的解析度降低到4。
2020年1月，與法布有過(guò)合作的沃爾夫森（Wolfson）發(fā)表了一篇論文，將希爾伯特關(guān)于9階多項(xiàng)式的幾何工作擴(kuò)展到更一般的理論。
希爾伯特專注于三次曲面，用于求解9階多項(xiàng)式。但是高階多項(xiàng)式呢？沃爾夫森認(rèn)為，可以用高次多項(xiàng)式形成的某些高維“超曲面”代替三次曲面，以類似的方式解決這些問題。
雖然我們對(duì)它們的幾何形狀了解甚少，但是在過(guò)去的幾十年中，數(shù)學(xué)家已經(jīng)能夠證明在某些情況下超曲面上總是有直線。
原來(lái)這幾十年里，研究拓?fù)鋷缀螖?shù)學(xué)家已經(jīng)不知不覺中“幫助”研究多項(xiàng)式的數(shù)學(xué)家開路了。
通過(guò)這種新方法，沃爾夫森確認(rèn)了9階多項(xiàng)式的希爾伯特解析度。對(duì)于其他多項(xiàng)式，尤其是9階以上的多項(xiàng)式，他的方法縮小了解析度的上限。
因此，這已經(jīng)不是只關(guān)乎希爾伯特第13個(gè)問題，而是擴(kuò)展到了整個(gè)多項(xiàng)式問題，數(shù)學(xué)家們可以借此提出關(guān)于6次、8次、9次的類似問題。
三位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的這個(gè)一般的解析度理論表明，這套工具是使用范圍超出了他們的想象。關(guān)于6次、7次和8次方程的希爾伯特猜想，還與其他原本看似無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題等效。
法布說(shuō)，希爾伯特第13個(gè)問題是萬(wàn)花筒。
“打開這個(gè)東西，投入的越多，就會(huì)得到更多的新方向和想法?！?/p>
“它打開了通往各個(gè)學(xué)科的大門、整個(gè)美麗的數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)。”
在法布看來(lái)，成功在數(shù)學(xué)中很罕見，數(shù)學(xué)家90%的時(shí)間在承受失敗。
這種失敗，應(yīng)該是他很樂于享受的。因?yàn)樗麄冋业搅艘粋€(gè)新的數(shù)學(xué)工具，就像愛麗絲從兔子洞掉入了一個(gè)神奇的仙境。
參考鏈接：
數(shù)學(xué)家探尋未解決的希爾伯特第13個(gè)問題
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-probe-unsolved-hilbert-polynomial-problem-20210114/
公眾號(hào)“普林小虎隊(duì)”：那些不被允許領(lǐng)取菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家
https://mp.weixin.qq.com/s/s6Uajiq5s9B1UELNlrKMPA
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2001.06515
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