陶哲軒瘋狂安利Copilot：它幫我完成了一頁紙證明，甚至能猜出我后面的過程
關(guān)于麥克勞林不等式
克雷西 發(fā)自 凹非寺
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繼給GPT-4“代言”之后，Copilot也被陶哲軒瘋狂安利。
他直言，在編程時，Copilot能直接預(yù)測出他下一步要做什么。
有了Copilot之后，研究做起來也更方便了，陶哲軒也用它輔助自己完成了最新的研究成果。
陶哲軒說，這次的論文中，有關(guān)這一部分的內(nèi)容其實(shí)只有一頁。
但具體完成這一頁紙的證明，他足足寫了200多行代碼，用的還是新學(xué)的編程語言Lean4。
而在陶哲軒公開代碼的GitHub頁面上顯示，Copilot將寫代碼的速度提升了一半以上。
陶哲軒介紹，之所以選擇Lean4是看中了它的“重寫策略”，也就是對一長段表達(dá)式進(jìn)行針對性的局部替換。
舉個例子，假如定義了一個復(fù)雜的函數(shù)f(x)，當(dāng)我們想輸入f(114514)的表達(dá)式時，直接用代碼把x“重寫”成114514就可以了。
陶哲軒說，這個特性相比于需要反復(fù)輸入公式的LaTeX簡直不要太方便。
那么陶哲軒這次的“一頁紙證明”又給我們帶來了什么新成果呢？
一頁紙證明新不等式
這篇論文談?wù)摿擞嘘P(guān)麥克勞林不等式的問題。
麥克勞林不等式是數(shù)學(xué)中一個經(jīng)典的不等式，它基于“非負(fù)實(shí)數(shù)的算數(shù)平均值大于等于幾何平均值”這一定律導(dǎo)出，可以表述為：
設(shè)y1…yn為非負(fù)實(shí)數(shù)，對k=1…n，定義均值Sk為（分母為分子的項數(shù)）：
它作為具有根的 n 次多項式的歸一化系數(shù)而出現(xiàn)。
（記住這個式子，我們稱它為式1）
則麥克勞林不等式可以表示為：
其中，當(dāng)且僅當(dāng)所有yi相等時等號成立。
在微積分中，還有一個經(jīng)典的牛頓不等式：
對任意1≤k<n，如果實(shí)變量y1…yn均為非負(fù)，牛頓不等式就可以簡單地描述麥克勞林不等式了：
但如果不加上這個限制條件，即允許負(fù)數(shù)項的存在，用牛頓不等式就無法表示麥克勞林不等式了。
于是針對牛頓不等式中可能存在負(fù)數(shù)項的情況，陶哲軒提出了一組新的不等式變體：
對任意r>0且1≤?≤n，必有式2或式3成立。
這便是陶哲軒這一頁紙所要證明的內(nèi)容，具體證明過程是這樣的：
不妨構(gòu)建一個關(guān)于復(fù)雜變量z的多項式P(z)：
由前面的式1和三角不等式可得：
所以只需要建立下界：
對P(z)取絕對值再取對數(shù)可得：
由于對任意實(shí)數(shù)t，t ? log(et+a)呈凸性且a>0，可以得到不等式：
當(dāng)a=r2，t=2log yj時，可以得出：
以上就是陶哲軒給出的證明過程，但是，當(dāng)歸一化的|Sn|=1時，下式成立：
下一步：建立細(xì)化版本
除了這次提到的“一頁紙證明”，陶哲軒的這篇論文中還提出了另一項新的定理，即對任意 1 ≤ k ≤ ?≤ n.：
在博客文章中，陶哲軒透露，他的下一步計劃就是提出這一不等式的細(xì)化版本。
陶哲軒說，證明的過程“就像練習(xí)一樣”會很簡單，用微積分就能搞定。
不過，他也提到會有一個小困難，因?yàn)檫@部分論證過程使用到了漸進(jìn)符號。
新的結(jié)論具體怎樣，讓我們拭目以待。
One More Thing
陶哲軒可謂是AI工具的忠實(shí)粉絲，Copilot、GPT-4，還有一些其他輔助工具都受到過他的推薦。
這次，他還對大模型的發(fā)展提出了新的期待，希望有一天模型可以直接生成不等式變體。
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2310.05328
參考鏈接：
https://mathstodon.xyz/@tao/111271244206606941
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