貓貓運動方程，首次被物理學家破解！ |《美國物理學雜志》正經(jīng)研究

白小交 西小風 發(fā)自 凹非寺

量子位 | 公眾號 QbitAI

貓貓和人的交互行為，竟然被物理學家用方程式寫出來了！

其成果還正經(jīng)刊登在了《美國物理學雜志》上。

起因就是這位名叫Anxo Biasi的小哥，有一天觀察起了自家貓貓，突發(fā)奇想：能否將貓視為一個在人產(chǎn)生的勢場中運動的質(zhì)點，用物理方程來描述其行為？

結(jié)果通過仔細研究，他成功構(gòu)建了一個能夠定性重現(xiàn)多種貓與人交互行為特征的貓貓運動方程。

此前雖然物理學家已經(jīng)研究過貓的一些特性（比如貓總能四腳著地的能力） ，還有下圖這種用來描述貓越小越可愛的“黑洞貓”幽默比喻。

但這項研究是首次以方程的形式對貓的典型行為特征進行建模。

甚至貓貓在夜間瘋狂跑酷也被再現(xiàn)了。

還有貓貓通常會對主人的呼喚愛答不理，它們會在最喜歡的人的腿上待更久……

趴在主人腿上VS趴在陌生人腿上，be like：

網(wǎng)友們覺得甚是有趣，幫助大家理解一些經(jīng)典力學概念的例子+1。

真沒想到愛貓人士會做到如此地步。

貓運動方程，如何建立？

這位小哥將貓貓建模為一個點粒子，首先結(jié)合日常觀察以及各種討論中定義了貓貓的7種常見場景。

（點粒子，物理學中一種粒子理想化描述，主要特點是不占用空間。舉個例子，只要離得夠遠，各種形狀的物體都會看似于一個點。）

明確指出的是，這是一項理論研究，沒有進行動物實驗，所有結(jié)論都建立在日常觀察和物理建模的基礎(chǔ)上。

此次關(guān)注的是貓與人互動的一個簡單場景：一只貓和一個靜止的人在一起。

這7種行為分別是：

• P1：貓休息時通常會與人保持一定距離。
• P2：當貓趴在人身上休息時（如趴在腿上、肚子上、背上），極小的刺激就可能使它們離開這個位置（如一只蒼蠅、一個難以察覺的聲音、鄰近星系原子的β-衰變）。產(chǎn)生離開所需的擾動強度取決于貓對其所依靠的人的依戀程度。
• P3：當貓被人撫摸時，它們會前后擺動。
• P4：當貓被人呼喚時，它們很少回應。
• P5：當貓決定接近呼喚它們的人時，它們往往會在途中分心，無法到達對方身邊。

• P6：晚上，貓咪會隨意在屋子里跑酷。（這種情況被稱為 “zoomies”）
• P7：當貓喜歡被人撫摸時，它們會發(fā)出呼嚕聲（發(fā)出柔和振動的聲音）。

當然，這些行為并不具有普遍性。有些貓也可能表現(xiàn)得不太明顯。

定義完之后進行研究假設(shè)：貓的行為就像它們感知到人周圍有一種力。

作為初步近似，他們將貓的動力學模型定義為在存在外部勢能（由靜止的人引起）和摩擦項的情況下，一個服從牛頓力學的點粒子。

其中x（t）表示貓在時間t相對于位于x=0處的人的位置，m>0是貓的質(zhì)量，并且?>0是摩擦系數(shù)，其值取決于每只貓。

將微分方程轉(zhuǎn)化為基于有理函數(shù)的形式。它提供了對平衡點的控制，這樣管理平衡點的數(shù)量、相對位置和穩(wěn)定性。

其中，g>0是耦合常數(shù)（從現(xiàn)在起將g簡化設(shè)置為g=1，但這不會改變模型的定性圖像）；δ在[0，1]區(qū)間，反映了貓對人的依戀。

當δ=0 時，點x=0（人的位置）是不穩(wěn)定的：貓對人沒有依戀。

當δ＞0時， 點x=0是穩(wěn)定的。并且δ值越大，貓的依戀越強。當δ=1時，這表明貓對人有很強的依戀。

圖1：（a）貓依附在人身上，（b）人對貓來說完全是陌生人。這兩種情況貓都處于靜止狀態(tài)，處于三個平衡點。

此外，需要公式 (1) 中的摩擦項來減少能量。否則，貓在活動一段時間后就不會趨于靜止狀態(tài)，比如左右兩側(cè)∞狀態(tài)。

為了阻止貓的運動，需要?≥0，而且摩擦力必須與速度的奇數(shù)次方成正比。

最后要注意的是，貓是在三維空間中移動的。然而，由于最重要的參數(shù)是貓和人之間的距離，我們假設(shè)貓沿著一條線移動，這進一步簡化了分析。

還將跑酷和發(fā)出呼嚕聲模擬出來了

基于貓運動方程，小哥將貓的7種行為定性地表示了出來。

P1：貓咪休息時通常會與人保持一定距離。這種行為被中心外的全局最小值所捕捉。

如圖1所示，貓可能以不同的速度從許多位置開始，但由于摩擦項，最終會到達最小值。

在大多數(shù)情況下，最終位置將是全局最小值，特別是對于貓和人之間的弱聯(lián)系（δ較小時）。

當δ趨近于1時，x=0將成為額外的全局最小值。

P2，該陳述的第一部分由勢能平衡點x=0（人的位置）重現(xiàn)，因為貓可能靠在人身上。

該陳述的第二部分是通過勢能對δ的依賴性來捕捉的。也就是說當δ=0時， x=0是不穩(wěn)定的，這表明在任意小的擾動下，貓都會偏離人。隨著δ的增長，需要更強的刺激才能將貓從人身上分離。

P3， “當貓被人撫摸時，它們會以振蕩運動來回移動?！?這種效應也在x=0附近的穩(wěn)定區(qū)域重現(xiàn)（對于δ＞0的情況）。

當貓平靜地靠近人（動能低）時，它們會圍繞人進行小幅度的振蕩，并收斂到靜態(tài)，這歸功于方程中的摩擦項。

即使被陌生人撫摸（δ=0），貓也可能表現(xiàn)出這些穩(wěn)定的振蕩，但為此必須添加一個新變量（呼嚕聲）。

觀察結(jié)果P4和P5可以用偏心最小值與人（x=0）之間的勢壘來解釋，如圖1所示。

P4被呼喚的行為被建模為貓向人發(fā)出的沖動，這會導致動能增加，這種能量注入可能足以或不足以克服勢壘。由于能量不足，貓會在一段時間后，再次收斂到靜止位置。

如下圖藍色（較暗）和綠色（較亮）軌跡所顯示。

當貓受到足夠強的刺激（沖動）接近人時，也就來到了P5：“當貓決定接近呼喚它們的人時，它們經(jīng)常在途中分心而無法接近人?！?這一觀察結(jié)果也用上圖綠色（較淺）軌跡所示。

這一現(xiàn)象中，貓的質(zhì)量也會起作用（Doge）， 貓獲得的速度會隨著質(zhì)量的增加而減小——

體重較輕的貓（例如小貓）會表現(xiàn)出精力充沛的動作并對任何刺激做出反應，而體重較重的貓（例如老年貓或喂食過度的貓）則不會表現(xiàn)出同樣的熱情。這也與觀察結(jié)果明顯一致。

除此之外，作者還將這一方程進行了拓展：貓貓跑酷和呼嚕聲，這兩種行為也被重現(xiàn)了。

貓貓跑酷。

其中σ為常數(shù)，f (t) 為外部隨機強迫。在給定時間內(nèi)產(chǎn)生快速移動的概率取決于摩擦力?和強迫σ的值。

這使我們能夠根據(jù)每只貓的特殊性調(diào)整模型。例如，小貓不斷表現(xiàn)出這些時期，對應于較低的摩擦力和較高的強迫力，而老年貓則很少表現(xiàn)出這種活動。

（a）顯示貓可能突然從一個平衡點跑到另一個平衡點，在那里停留一段時間，然后再次隨機地回到上一個平衡點。（b）為小貓（c）為老年貓

對于第7種行為，作者定義呼嚕聲是一種穩(wěn)定機制。

一部分原因在于當貓被撫摸并開始發(fā)出呼嚕聲時，人們通常會有繼續(xù)撫摸貓的沖動，從而通過這種方式增強了過程的穩(wěn)定性。

以卡皮察擺作為類比，貓在發(fā)出呼嚕聲時會振動，振動可以作為不穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定機制，由此定義貓貓呼嚕聲運動模型：

振動可以加強貓與人之間的有效聯(lián)系。

在原有貓方程基礎(chǔ)上，引入了外部振動強迫來模擬這種效果。

其中G (x) 暫時為無約束函數(shù)，β和Ω分別為貓中振動的振幅和頻率。此類驅(qū)動項模擬了在時間振蕩場中移動或受到周期性強迫的粒子。

好了，此舉從物理學的角度探索了貓與人之間的互動。

作者表示，這種互動模型旨在用于經(jīng)典力學的入門課程，讓學生更好地熟悉平衡點、勢壘、摩擦或外力等概念。

靈感來自于自家的貓貓

此次研究成果來自理論物理學家Anxo Biasi和他家的貓貓Eme。

他主要研究非線性演化方程的動態(tài)行為，特別關(guān)注奇異點的形成、長期動態(tài)行為和湍流問題，這在流體動力學、玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)和廣義相對論等領(lǐng)域具有廣泛應用。

Anxo此前通過巴黎高等師范學院物理系的La Caixa青年領(lǐng)袖計劃，加入了加利西亞高能物理研究所（IGFAE）。

在IGFAE，他已經(jīng)完成了博士論文，并將加入弦理論相關(guān)領(lǐng)域的研究團隊，繼續(xù)研究物理學和數(shù)學交叉領(lǐng)域的非線性演化方程。

建立貓運動方程，最初源自于他在愚人節(jié)的一個想法：想找一種對學生更有吸引力的有趣方式來解釋物理。

他本人的貓貓Eme給了他靈感，通過仔細觀察Eme與他互動時的行為，Anxo發(fā)現(xiàn)這種行為模式具有重復性和可預測性，于是開始自己嘗試用物理模型來描述這些行為。

逐漸地，這一在某種程度上看似是開玩笑的事情，呈現(xiàn)出了學術(shù)形態(tài)。

為此在致謝中還特意感謝了Eme。

這項工作還可以延伸到各種場景，除了可以從物理學角度探索貓與人之間互動其它特征，還可以探討貓與貓、狗與狗或狗與人之間的互動。

好想知道貓貓打架是什么方程哇～

參考鏈接：
[1]https://phys.org/news/2024-10-physicist-cat-reveal-equation-motion.html
[2]https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/92/11/827/3317285/On-cat-human-interaction-from-the-viewpoint-of
[3]https://www.phys.ens.psl.eu/en/article/anxo-farina-biasi