比冒泡算法還簡單的排序算法：看起來滿是bug的程序，居然是對(duì)的
bug也能負(fù)負(fù)得正
明敏 曉查 發(fā)自 凹非寺量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI
程序bug也能負(fù)負(fù)得正嗎？
還真可以。
比如程序員們再熟悉不過的排序算法，通過兩個(gè)“bug”居然能歪打正著，實(shí)在令人匪夷所思。
請看這位程序員寫的數(shù)組升序排序代碼：
for i = 1 to n dofor j = 1 to n doif A[i] < A[j] thenswap A[i] and A[j]
今天這串代碼在Hacker News論壇上突然火了起來，引來大批程序員圍觀。
乍一看這段代碼，你的反應(yīng)會(huì)是什么？會(huì)不會(huì)覺得這個(gè)程序員水平太差了，連基本的冒泡算法都寫不好：
總之，這段代碼“絕對(duì)不可能正確”。
△冒泡算法
但如果你真的運(yùn)行一下會(huì)發(fā)現(xiàn)，結(jié)果還真的是按照升序排列的。
我們再來看一下正確的冒泡算法代碼是怎樣的：
for i = 1 to n dofor j = i + 1 to n doif A[i] > A[j] thenswap A[i] and A[j]
后者不同之處是j = i + 1且A[i] > A[j] ，兩段程序大相徑庭。
然而我要告訴你一個(gè)不可思議的事實(shí)，其實(shí)第一串代碼是對(duì)的，而且可以嚴(yán)格證明。
那么它是如何實(shí)現(xiàn)正確排序的？
為何能歪打正著
仔細(xì)一想，其實(shí)很容易理解。因?yàn)樵撍惴ū让芭菖判蚨嘁话虢粨Q操作，正好可以將降序編程升序。
不過，作者還是給出了嚴(yán)格的證明。
我們定義P?是經(jīng)過i次（1 ≤ i ≤ n）外循環(huán)后得到的數(shù)組。
如果算法正確，那么前i項(xiàng)已經(jīng)是升序排列，即A[1] ≤ A[2] ≤ . . . ≤ A[i]。
證明該算法正確，實(shí)際上就是證明P?對(duì)于任何n都成立。
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，我們只要證明P?成立，假設(shè)P?成立，接著再證明Pi+1也成立，命題即可得證。
P?顯然是正確的，而且這一步和普通的冒泡算法降序沒有區(qū)別，經(jīng)過第1次外循環(huán)，A[1]就是整個(gè)數(shù)組的最大元素。
接著我們假設(shè)P?成立，然后證明Pi+1成立。
我們先定義一個(gè)序數(shù)k：
考慮以下三種情況：
1、1 ≤ j ≤ k?1
由于A[i+1]＞A[j]，沒有任何元素交換發(fā)生。
2、 k ≤ j ≤ i?（如果k=i+1，則不存在此步驟）
由于A[j]>A[i+1]，所以每次比較后都會(huì)有元素交換發(fā)生。
我們使用A[ ]和A′[ ]來表示交換前和交換后的元素，所以
A′[i+1] = A[k]，A′[k]=A[i+1]
經(jīng)過一系列交換，最大元素最終被放到了A[i+1] 位置上，原來的A[i+1]變成了最大元素，A[k]被插入了大小介于原來A[k]和A[k-1]之間的元素。
3、i+1 ≤ j ≤ n
由于最大元素已經(jīng)交換到前i+1個(gè)元素中，此過程也沒有任何元素交換。
最后，P?就是升序排序算法執(zhí)行完以后的結(jié)果。
由于內(nèi)外兩組循環(huán)沒有任何范圍差別，因此這可以說是“最簡單”的排序算法了。
從代碼上來看，它很像冒泡算法，但從證明過程中可以看出，這實(shí)際上是一種插入算法。
△插入算法
算法復(fù)雜度
顯然，該算法總會(huì)進(jìn)行n2次比較，接下來計(jì)算算法的交換次數(shù)。
可以證明交換其次最多為I+2(n-1)，最少為n-1。
其中I為初始數(shù)字的逆序數(shù)，最大為n(n-1)/2
因此整個(gè)算法的復(fù)雜度為O(n2)。
從證明過程中可以看出，除了i=1的循環(huán)以外，其余循環(huán)里j=i-1之后的部分完全無效，因此可以將這部分省略，得到簡化后的算法。
for i = 2 to n dofor j = 1 to i ? 1 doif A[i] < A[j] thenswap A[i] and A[j]
該算法減少了比較和交換次數(shù)，不過算法復(fù)雜度依然是O(n2)。
網(wǎng)友：這個(gè)算法我以前見過
比最容易理解的冒泡算法還要簡單，這個(gè)排序算法在Hacker News上很快引起了網(wǎng)友的圍觀。
不少人覺得它“很眼熟”。
有位網(wǎng)友表示，自己曾在奧林匹克數(shù)學(xué)競賽中看到一個(gè)同學(xué)用了一種非常奇怪的排序算法，它可以運(yùn)行但是效率很低，更像是一種插入排序。
事實(shí)上，關(guān)于這種算法的討論已久，從2014年開始就不斷有人發(fā)帖，這次作者將論文上傳到arXiv后又引起了廣泛熱議。
甚至還有烏龍事件發(fā)生。
有位網(wǎng)友掃了一眼論文就以為這個(gè)算法和自己10年前提出的一樣。
留言網(wǎng)友的算法：
乍一看兩種算法的代碼確實(shí)很像，原理上的確有些相似。
都是看起來像冒泡排序，但其實(shí)更貼近選擇排序。
不過很快有人指出真相：這種算法中 j=i+1 to n，并且是當(dāng) A[i] > A[j] 時(shí)交換。
而作者提出的算法中 j=1 to n，A[i] < A[j] 時(shí)交換。
兩種算法相比，網(wǎng)友此前提出的更容易被理解為什么可以運(yùn)行。
當(dāng)然也有歪樓的，有人就調(diào)侃自己剛學(xué)編程時(shí)寫過這個(gè)算法。
?
不過說到實(shí)際應(yīng)用上，這種算法需要的計(jì)算時(shí)間太長了。
有人就認(rèn)為，這種算法此前被發(fā)現(xiàn)過很多次，但是那些人根本沒打算用它。
也有人提出：這種排序沒有睡眠排序簡單。
睡眠排序就是構(gòu)造n個(gè)線程，讓線程和排序的n個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)。
例如對(duì)于[4,2,3,5,9]這樣一組數(shù)字，就創(chuàng)建5個(gè)線程，每個(gè)線程睡眠4s，2s，3s，5s，9s。這些線程睡醒之后，就把自己對(duì)應(yīng)的數(shù)報(bào)出來即可。這樣等所有線程都醒來，排序就結(jié)束了。
但和作者提出的算法一樣，睡眠排序由于多線程的問題，在真正實(shí)現(xiàn)上也有困難。
此外，這位網(wǎng)友也表示自己看到過這種算法：
很快就有人提議說——
參考鏈接： [1]https://news.ycombinator.com/item?id=28758106 [2]https://arxiv.org/abs/2110.01111
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