x2-dy2=-1有多少整數(shù)解？近30年無人解開的數(shù)學(xué)難題有答案了

十三 2022-08-20 15:01:03 來源：量子位

Alex 羿閣 發(fā)自 凹非寺

量子位 | 公眾號 QbitAI

數(shù)學(xué)界幾十年來的一個謎題，終于被解開了。

這個猜想和初等數(shù)論中經(jīng)典的佩爾（Pell）方程：x2-d*y2=1有關(guān)。

（這里d是整數(shù)，求x、y也都是整數(shù)的解。）

在此之前，經(jīng)典佩爾方程的整數(shù)解情況已得到證明：

當(dāng)d≤0或d為某大于0的完全平方數(shù)時，該方程有唯一解：x=±1，y=0；當(dāng)d>0且不是完全平方數(shù)時，該方程有無數(shù)組正整數(shù)解。

不過數(shù)學(xué)家們的探究精神一般不會止步于此。

有人提出將等號右邊的1變成-1，并將這個新的方程稱為負(fù)佩爾方程?（ II型佩爾方程），結(jié)果整數(shù)解的情況立刻變得復(fù)雜了許多。

時間撥到1993年，當(dāng)時數(shù)學(xué)家彼得·史蒂文哈根（Peter Stevenhargen）提出了一個公式，對負(fù)佩爾方程的整數(shù)解情況給出一個精確的答案。

而這個猜想提出后的30年，數(shù)學(xué)界一直無法證明它的正確性。

但現(xiàn)如今，來自康考迪亞大學(xué)的卡羅·帕加諾（Carlo Pagano）和密歇根大學(xué)的皮特·科伊曼斯（Peter Koymans），終于給出了猜想的“正解”。

帕加諾的導(dǎo)師Hendrik Lenstra教授甚至對此評價(jià)說：

這個成果為數(shù)論的一個分支開辟了新篇章。

數(shù)論中的經(jīng)典：佩爾方程

在介紹負(fù)佩爾方程之前，讓我們先來了解一下經(jīng)典的佩爾方程從何而來。

佩爾方程，其實(shí)與佩爾完全無關(guān)。

這一理論最早由費(fèi)馬（Pierre de Fermat）進(jìn)行深入研究，由拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）給出解決方案，但后來因?yàn)楸粴W拉（Leonhard Euler）誤記為佩爾提出，就陰差陽錯的流傳下來。

它的具體形式為：x2-d*y2=1

當(dāng)d是正整數(shù)且不是完全平方數(shù)，則存在無窮多個解。

舉個例子，數(shù)學(xué)史上有個經(jīng)典的“阿基米德群牛問題”：

太陽神養(yǎng)了一群牛，這些牛有公有母，分白色、黑色、黃色和花色四種顏色，給定一系列條件，求解牛的總數(shù)有多少？各種顏色的牛分別是多少?

這個問題起一直以來吸引了很多數(shù)學(xué)家的興趣，最后經(jīng)過一系列計(jì)算，被演化為求解一個佩爾方程：

x2-4729494*y2=1

2000年，倫斯查（Lenstra）完全解決了這個問題，他得出了阿基米德群牛問題的所有解：

不僅解的數(shù)量多，牛的最小數(shù)量也讓人驚呼：或許只有真·太陽神才能管理了。

不同于佩爾方程，負(fù)佩爾方程的整數(shù)解情況要復(fù)雜得多。

負(fù)佩爾方程

前文提到，負(fù)佩爾方程可表示為：x2-d*y2=-1；d為整數(shù)。

顯然，當(dāng)d≤0，以及d為大于1的完全平方數(shù)時，方程無整數(shù)解。

此外，負(fù)佩爾方程的整數(shù)解復(fù)雜性還體現(xiàn)在：

負(fù)佩爾方程中的很多d值都無整數(shù)解。據(jù)已知規(guī)則得出，d不能是3、7、11、15的倍數(shù)等。

但除了這些值外，并不是其他的d值就一定有整數(shù)解。
例如當(dāng)d=3時，x2–3*y2=-1，無論沿著數(shù)軸看多遠(yuǎn)，都永遠(yuǎn)找不到解。

但事實(shí)上，排除3、7、11、15的倍數(shù)后，并不是取其他的d值，負(fù)佩爾方程就一定有整數(shù)解。

給定d值后，首先需要求出負(fù)佩爾方程的基本解。

對負(fù)佩爾方程的求通解可使用這個公式：

其中，這里的n為任意正整數(shù)；a和b則是負(fù)佩爾方程的基本解，并有如下等式：

x0和y0就是經(jīng)典佩爾方程的基本解。

更多與之相關(guān)的細(xì)節(jié)研究可參考論文：

研究者簡介

最后，來看看這兩位證明這個30年前猜想的數(shù)學(xué)家們吧——

卡羅·帕加諾（Carlo Pagano），是加拿大康考迪亞大學(xué)的助理教授，主要研究方向是數(shù)論。

此前分別獲得了格拉斯哥大學(xué)和馬克斯·普朗克研究所的數(shù)學(xué)博士后學(xué)位，博士畢業(yè)于萊頓大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)，導(dǎo)師是Hendrik Lenstra。

皮特·科伊曼斯（Peter Koymans），目前正在密歇根大學(xué)攻讀博士后，主要研究方向是數(shù)論及其周邊領(lǐng)域。

此前在馬克斯·普朗克數(shù)學(xué)研究所從事博士后研究，博士畢業(yè)于萊頓大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)，導(dǎo)師是Jan-Hendrik Evertse和Peter Stevenhagen。

可以看出，兩人的學(xué)習(xí)軌跡有很多重合的部分，不僅如此，他們在研究生時期也是同學(xué)。

為了這項(xiàng)研究，兩人整整一年天天見面，每天在黑板上進(jìn)行各種演算，互相完善對方提出來的想法，就連午餐時間都不放過，如果有人在獨(dú)處時有了新想法，就會隨時發(fā)短信通知另一個人。

盡管非常有挑戰(zhàn)性，科伊曼斯卻在回憶起這段時間時說：“我們一起做這件事很有趣。”

參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/ancient-equations-offer-new-look-at-number-groups-20220810/
[2]http://www.math.toronto.edu/~eknight/Pell.pdf
[3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/365860557
[4]https://www.sites.google.com/view/carlopagano
[5]http://www-personal.umich.edu/~koymans/
[6]https://arxiv.org/abs/2201.13424