“最大數(shù)之父”葛立恒逝世，他是20世紀(jì)數(shù)學(xué)巨匠，也是一個(gè)雜技演員

曉查 發(fā)自 凹非寺
量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI

2020，又一位數(shù)學(xué)大師仙逝。

7月6日，美國(guó)著名數(shù)學(xué)家葛立恒（Ronald Graham）因病逝世，享年85歲。

雖然很多數(shù)學(xué)愛好者不敢相信這個(gè)事實(shí)，但美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（AMS），已在官網(wǎng)發(fā)布了葛立恒的訃告：

這位曾經(jīng)的AMS主席獲得官網(wǎng)這樣的評(píng)價(jià)——他是離散數(shù)學(xué)的領(lǐng)軍人物。

與葛立恒合作過25篇論文的數(shù)學(xué)家Steve Butler也在社交媒體上證實(shí)了這一消息。

這位傳奇數(shù)學(xué)家留給大眾最重要的遺產(chǎn)，就是葛立恒數(shù)，這個(gè)數(shù)學(xué)證明中用到的最大數(shù)曾入選吉尼斯世界紀(jì)錄為人熟知。

而葛立恒數(shù)僅僅是他的一點(diǎn)貢獻(xiàn)，葛立恒還在組合數(shù)學(xué)、圖論、調(diào)度理論、計(jì)算機(jī)科學(xué)等諸多領(lǐng)域都做出過巨大貢獻(xiàn)。

我們都聽過所謂的“六度理論”，即任意兩人之間都可以通過不超過6個(gè)人的人脈關(guān)系聯(lián)系起來，這一理論恰恰是由葛立恒1979年的一篇論文發(fā)展而來。

而且，葛立恒不僅僅是一名數(shù)學(xué)家，還是一名雜技演員、魔術(shù)師。

傳奇數(shù)學(xué)家

如果你不熟悉葛立恒，那一定會(huì)覺得他的名字非常特殊。

Graham通常翻譯做格雷厄姆，為何Ronald Graham卻翻譯成了“葛立恒”這樣一個(gè)有中國(guó)特色的名字？

原因是葛立恒有一位華人妻子金芳蓉。金芳蓉也是圖論領(lǐng)域的專家，夫妻二人同是加州大學(xué)圣迭戈分校的數(shù)學(xué)教授。

葛立恒一生共發(fā)表350多篇論文和書籍，其中與妻子合作的就有90多篇。

談到和葛立恒的婚姻，金芳蓉這樣描述：

許多數(shù)學(xué)家不愿嫁給同專業(yè)的人。他們擔(dān)心二人之間會(huì)過于競(jìng)爭(zhēng)。我們不僅都是數(shù)學(xué)家，而且都在同一領(lǐng)域工作。因此，我們可以理解和欣賞對(duì)方的工作，而且我們可以一起工作，有時(shí)會(huì)取得很好的進(jìn)展。

在生活中，葛立恒與另一位天才數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）也有一段令人稱頌的友誼，兩人合作過30多篇論文。

△葛立恒夫婦與埃爾德什

葛立恒夫婦甚至還在家中留有一個(gè)專門的房間，給埃爾德什長(zhǎng)期拜訪居住。

由于埃爾德什比葛立恒大22歲，后來葛立恒還負(fù)責(zé)起埃爾德什的起居生活，包括管理收入、納稅還有幫他買衣服。

埃爾德什去世后，葛立恒負(fù)責(zé)打理由埃爾德什設(shè)立的獎(jiǎng)金——埃爾德什獎(jiǎng)，這筆獎(jiǎng)金用于獎(jiǎng)勵(lì)那些解決某難題的青年才俊科學(xué)家，陶哲軒也曾獲獎(jiǎng)。

出生于1935年的葛立恒，于1962年獲得了加州大學(xué)伯克利分校的博士學(xué)位，此后進(jìn)入了AT&T的貝爾實(shí)驗(yàn)室工作，之后擔(dān)任該實(shí)驗(yàn)室首席科學(xué)家。

在他的帶領(lǐng)下，貝爾實(shí)驗(yàn)室建成了世界一流的離散數(shù)學(xué)和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)研究中心。

在此期間，他曾在普林斯頓大學(xué)、斯坦福大學(xué)、加州理工學(xué)院、加州大學(xué)洛杉磯分校和戴維斯分校擔(dān)任訪問職位。葛立恒1999年被任命為加州大學(xué)圣迭戈分校的計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)系主任。

2003年，葛立恒獲得了美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)頒發(fā)的斯蒂爾終身成就獎(jiǎng)。

多才多藝的葛立恒，在此期間還有其他“副業(yè)”，他曾在1972年擔(dān)任國(guó)際雜技演員協(xié)會(huì)主席。

葛立恒精通體操和蹦床，也是個(gè)會(huì)雜技的魔術(shù)師。

這些副業(yè)也給了他主業(yè)巨大的扶持。當(dāng)葛立恒在研究數(shù)學(xué)問題受困時(shí)，他會(huì)在工作場(chǎng)所來一些雜耍動(dòng)作放松頭腦，獲得靈感。

說到這里，你是否覺得葛立恒的人生已經(jīng)足夠開腦洞，而他最重要的葛立恒數(shù)才是把腦洞開到最大。

什么是葛立恒數(shù)

說到這里，我們進(jìn)入燒腦環(huán)節(jié)。這個(gè)號(hào)稱最大數(shù)的葛立恒數(shù)定義是這樣的：

為了搞清楚上面的標(biāo)記到底是啥意思，我們先來介紹一個(gè)新的工具。

過去人們用科學(xué)記數(shù)法來表示大數(shù)實(shí)在是弱爆了，于是著名計(jì)算機(jī)學(xué)家高德納想到了一個(gè)更好的辦法。

沒錯(cuò)，就是那位獲得1974年圖靈獎(jiǎng)、還在寫《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》的計(jì)算機(jī)大神高德納。

他提出的表示法被叫做高德納箭頭——通過不停給指數(shù)“套娃”的方式來構(gòu)造大數(shù)。

一個(gè)高德納箭頭表示普通的指數(shù)：

3↑3 = 33 = 27

兩個(gè)高德納箭頭表示指數(shù)嵌套的層數(shù)：

3↑↑3 = 3↑(3↑3)=3↑27 = 327 = 7625597484987

三個(gè)高德納箭頭是把二重箭頭算兩遍：

3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7625597484987 = ……

更直觀的表示是這樣的，總共嵌套了7625597484987層指數(shù)：

算到這里，3↑↑↑3已經(jīng)是一個(gè)“天文”數(shù)字。算出它不可能，就是把它所有的指數(shù)寫下來，也需要天文級(jí)別長(zhǎng)度的紙條。

因?yàn)?，如果我?strong>每隔2厘米寫一個(gè)3，那么得從地球?qū)懙教?yáng)表面。

四個(gè)高德納箭頭就是把三箭頭再嵌套一次：

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(一個(gè)需要寫到太陽(yáng)的數(shù)) = ？？？

隨著箭頭的增長(zhǎng)，數(shù)字的增長(zhǎng)速度比指數(shù)函數(shù)不知道快多少倍。

然而這還僅僅是葛立恒數(shù)的第一層，也就是第二層的箭頭數(shù)，第二層的數(shù)又是第三層的箭頭數(shù)，……，葛立恒數(shù)這個(gè)“老千層餅”總共有64層。

這個(gè)數(shù)到底有多大？大到你的腦洞變成黑洞也裝不下。

我們不僅沒法算出來葛立恒數(shù)，甚至連葛立恒數(shù)位數(shù)的位數(shù)也無從知曉。

全宇宙的原子數(shù)量在葛立恒數(shù)面前就是0。假如你的腦子要裝下葛立恒數(shù)，存儲(chǔ)這個(gè)數(shù)的信息熵會(huì)大到讓你的腦子變成黑洞。

至于葛立恒數(shù)的最后500位是這樣的：

葛立恒數(shù)有什么用

為了防杠，在這里我們需要強(qiáng)調(diào)：比葛立恒數(shù)大的數(shù)還有無窮多個(gè)！

比如給葛立恒數(shù)加一、乘二，都能得到比它更大的數(shù)，但這些數(shù)字都沒有具體的數(shù)學(xué)意義。

葛立恒數(shù)是有數(shù)學(xué)意義的最大數(shù)字（直到TREE(3)出現(xiàn)）。

那么，一個(gè)研究離散數(shù)學(xué)的人是怎樣和巨大數(shù)字打起了交道？這要從葛立恒研究的圖論說起。

葛立恒當(dāng)年研究了拉姆齊理論中的一個(gè)問題：給n維立方體的邊上色。我們先從最簡(jiǎn)單的二維立方體，也就是正方形說起。

正方形總有有4個(gè)頂點(diǎn)，把這些頂點(diǎn)全部?jī)蓛蛇B起來，總共會(huì)有6條線。這種把所有點(diǎn)全部連起來的圖，在數(shù)學(xué)上叫做完全圖。

如果我們規(guī)定6條邊只能涂上紅藍(lán)兩種顏色，那么在一個(gè)平面里會(huì)不會(huì)有單色的完全圖呢？

葛立恒在5年前的科普視頻里告訴我們，在正方形上，確實(shí)可以找到一種涂色方法，可以不出現(xiàn)單色的完全圖。

那么到了3維情況會(huì)如何？立方體頂點(diǎn)間總共有28條連線，給它們按照以下方式上色。

你注意到了嗎？有一個(gè)斜的平面中有個(gè)單色完全圖，可是如果我們把最下面的邊換成藍(lán)色，那么就不能在任意一個(gè)平面內(nèi)找到單色完全圖了。

如果到4維、5維、6維……空間中的立方體，是不是存在一種涂色方法，讓人找不到平面內(nèi)的單色完全圖呢？

通過具體的例子，我們發(fā)現(xiàn)2維、3維中立方體中，確實(shí)能找到這樣的涂色方法，但是數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)維度n大于一個(gè)數(shù)后，就再也找不到符合要求的涂色方法了。

至于n到底有多大，數(shù)學(xué)家到現(xiàn)在也沒有完全證明，只能給出一個(gè)范圍。

而葛立恒證明，這個(gè)n最大不會(huì)超過葛立恒數(shù)。

《科學(xué)美國(guó)人》雜志的專欄作家Martin Gardner在大眾科普中介紹了上述問題，葛立恒數(shù)的名稱由此而來。

Gardner在文章里這樣描述葛立恒數(shù)：

其范圍如此之大，以至是嚴(yán)肅數(shù)學(xué)證明中使用的最大數(shù)。

雖然后來有更大的TREE(3)超越它，但是葛立恒數(shù)已經(jīng)如此深入人心，以至于人們一提到最大數(shù)，首先就想到它。

One More Thing

今年我們已經(jīng)失去了John Conway和葛立恒兩位數(shù)學(xué)大師，令人惋惜。

斯人已逝，相信葛立恒已經(jīng)和好友埃爾德什在另一個(gè)世界相聚。

如果寄托的哀思有一個(gè)數(shù)量限制的話，那一定是葛立恒數(shù)。

RIP

參考鏈接：

http://www.diglog.com/story/1010279.html

https://news.ycombinator.com/item?id=23765035

https://www.reddit.com/r/math/comments/hmngx7/ron_graham_passed_away_earlier_this_evening_at/

https://www.ams.org/news?news_id=6244

http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/pro_07_peripatetic.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=HX8bihEe3nA