靠數(shù)學(xué)“拿了”兩次諾貝爾獎(jiǎng)，彭羅斯從“鋪地磚”幫忙發(fā)現(xiàn)2011年化學(xué)獎(jiǎng)的秘密

曉查 2020-10-18 12:31:15 來(lái)源：量子位

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諾貝爾獎(jiǎng)沒(méi)有數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，但是如果數(shù)學(xué)足夠好的話，可以拿兩次諾貝爾獎(jiǎng)：

幫別人拿一次，自己再拿一次。

剛剛獲得諾貝爾獎(jiǎng)的英國(guó)數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）就是這樣。

今年，彭羅斯憑借數(shù)學(xué)在廣義相對(duì)論和黑洞研究中的應(yīng)用，獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

而在幾十年前，彭羅斯的另一項(xiàng)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)曾幫助別人獲得過(guò)諾貝爾獎(jiǎng)。

2011年，以色列科學(xué)家丹尼爾·舍特曼（Daniel Shechtman）因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體獲得了當(dāng)年的諾貝爾理綜化學(xué)獎(jiǎng)。

準(zhǔn)晶體于1982年被發(fā)現(xiàn)。而準(zhǔn)晶體的理論卻和十幾年前一個(gè)看似毫不相干的數(shù)學(xué)概念——彭羅斯地磚——有關(guān)。

彭羅斯地磚（Penrose tiling）可不是什么家裝品牌的名字，是由彭羅斯提出的一種鋪滿平面的方案。

△ 彭羅斯站在彭羅斯地磚上

這種極簡(jiǎn)而又不同尋常的地磚蘊(yùn)含著準(zhǔn)晶體原子排列的秘密，打破了人們對(duì)晶體認(rèn)知的局限。

鋪地磚

彭羅斯地磚的設(shè)計(jì)最早可以追溯到半個(gè)世紀(jì)前。

看看你腳下的地磚，它是不是簡(jiǎn)單而又重復(fù)。數(shù)學(xué)家們卻想把問(wèn)題搞得復(fù)雜一點(diǎn)。

如何設(shè)計(jì)一款地磚鋪滿平面，這是個(gè)看似非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題。如果地磚形狀被限制為統(tǒng)一的正多邊形，那么很容易看出只有正三角形、正方形、正六邊形可以鋪滿平面。

正五邊形，因?yàn)樗慕鞘?08°，無(wú)法湊成360°，所以是沒(méi)法鋪滿平面的。

如果地磚的形狀不限制是正多邊形，甚至不限制一種，那么鋪滿平面的方式就有無(wú)數(shù)種了。

比如像下面這種由2種菱形鋪滿的情況：

無(wú)論是這種平鋪，還是前面用正多邊形平鋪，它們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)：具有周期性。

所謂周期性，是指把轉(zhuǎn)換朝著某個(gè)方向平移一段距離后，能夠和自身重合。

△ 幾種周期性的平鋪設(shè)計(jì)

那么有沒(méi)有一種方法是不具有周期性，同時(shí)又能鋪滿整個(gè)平面呢？

1960年代，美籍華裔邏輯學(xué)家王浩研究了這個(gè)問(wèn)題，他給出了一種新的圖形：王氏磚。

王氏磚雖然也是正方形，但是每個(gè)邊都被涂上不同顏色，而且王浩規(guī)定，只有相同顏色邊才能相鄰。

不過(guò)王浩認(rèn)為存在一種算法，可以算出王氏磚鋪滿平面的方法。換句話說(shuō)，他認(rèn)為鋪滿屏幕的方案只能是周期性的。

而他的學(xué)生Robert Berger卻證明了，實(shí)際上是不存在這種算法的。他指出，在某些情況下，只有圖靈機(jī)不停止時(shí)，才將王氏磚鋪滿平面。即存在非周期性平鋪。

用上面的13塊磚，可以實(shí)現(xiàn)非周期性平鋪的。從色塊上來(lái)看，這種方法雜亂無(wú)章。

后來(lái)，彭羅斯發(fā)現(xiàn)，其實(shí)不需要這么多種磚塊，而且磚塊也不一定是方形。比如用五邊形、五角星、菱形、船型四種圖形組合可以實(shí)現(xiàn)非周期性平鋪。（該方法是彭羅斯1974年論文提出的。）

最后，彭羅斯發(fā)現(xiàn)，最少只用兩種形狀就可以實(shí)現(xiàn)非周期性平鋪：一個(gè)“瘦菱形”和一個(gè)“胖菱形”。

而這種方法其實(shí)和上面五邊形方案是等價(jià)的。

至此，非周期性平鋪問(wèn)題算是告一段落，數(shù)學(xué)家們把它研究出來(lái)，沒(méi)想過(guò)有什么實(shí)際用途。如果非要說(shuō)實(shí)際用途，那么算是給地磚設(shè)計(jì)提供了一種新思路，也算是一種藝術(shù)貢獻(xiàn)吧。

直到1982年以色列科學(xué)家舍特曼新發(fā)現(xiàn)一種“特殊的晶體”。

準(zhǔn)晶體

和地磚一樣，晶體也可以看成是不同形狀拼接而成，不過(guò)晶體鋪滿的是三維空間。

過(guò)去，科學(xué)家們認(rèn)為，晶體也只有像三角形、正方形、六邊形等幾種平鋪方式。我們每天吃的食鹽，它的晶體結(jié)構(gòu)是立方體。

至于五邊形，因?yàn)闆](méi)有周期性，不符合晶體對(duì)稱性的要求，科學(xué)家從來(lái)沒(méi)考慮過(guò)晶體能按五邊形排列。

然而，舍特曼發(fā)現(xiàn)，用X光照射某些合金（比如鈥鎂鋅合金）的時(shí)候，產(chǎn)生的衍射花紋非常奇特，一圈有10個(gè)點(diǎn)。說(shuō)明這種合金的結(jié)構(gòu)里有五邊形。

如果把這種合金結(jié)晶，可以看到晶體形成了12面體，每個(gè)面都是五邊形。

科學(xué)家們把這種物質(zhì)叫做“準(zhǔn)晶體”，它和彭羅斯地磚一樣，沒(méi)有平移對(duì)稱性，但是卻有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，每繞圓周旋轉(zhuǎn)1/5都能和自身重合。

這可真是顛覆了科學(xué)家們的認(rèn)知。連諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)獲得者鮑林都不信，對(duì)此予以強(qiáng)烈批判：“沒(méi)有準(zhǔn)晶體，只有偽科學(xué)家?！?/p>

彭羅斯地磚在這時(shí)候派上了大用場(chǎng)。如果原子按照彭羅斯地磚那樣排列，那么理論計(jì)算出的X射線衍射圖樣就和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一樣。

事實(shí)勝于雄辯。隨著技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)家們也拍出了準(zhǔn)晶體的原子排列圖像，的確能看到五邊形的存在。

最終，舍特曼憑借此發(fā)現(xiàn)獲得了諾貝爾獎(jiǎng)。

文化符號(hào)

除了幫助舍特曼獲得諾貝爾獎(jiǎng)，彭羅斯地磚已經(jīng)成為了一種代表數(shù)學(xué)的藝術(shù)。

2013年，牛津大學(xué)將數(shù)學(xué)系所在的安德魯·懷爾斯大樓入口改成彭羅斯地磚鋪設(shè)。

文章開(kāi)頭，彭羅斯所在的地方德州農(nóng)工大學(xué)物理與天文研究所也鋪上了類似地磚。此外還有邁阿密大學(xué)數(shù)學(xué)系。

而彭羅斯的影響不僅于此，他設(shè)計(jì)的“彭羅斯三角”成為了游戲《紀(jì)念碑谷》的重要元素。

彭羅斯用他的方式對(duì)科學(xué)、藝術(shù)乃至我們的生活產(chǎn)生了意外的影響。而彭羅斯能在這么多領(lǐng)域取得成就，恐怕與他背后那個(gè)令人咋舌的家族是分不開(kāi)的。

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參考鏈接：
https://www.guokr.com/article/69740/
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling