MIT數(shù)學(xué)最強(qiáng)本科生：2年半畢業(yè)，20多篇論文在手，還推動(dòng)了停滯幾十年的數(shù)學(xué)研究

金磊 蕭簫 發(fā)自 凹非寺
量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI

很多數(shù)學(xué)系學(xué)生可能大三才剛剛接觸“組合數(shù)學(xué)”，而一位21歲的MIT本科生已經(jīng)悄悄解決了這個(gè)分支中最重要的一個(gè)理論——拉姆齊數(shù)。

他就是Ashwin Sah，2016年的IMO金牌獲得者，2018年還獲得過(guò)首屆阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽銀獎(jiǎng)。

并且，他只用了兩年半就順利從MIT畢業(yè)。

這個(gè)拉姆齊數(shù)讓20世紀(jì)最高產(chǎn)的天才數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什研究了一生，無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家前赴后繼，其中不乏阿貝獎(jiǎng)得主，如今被Sah的研究又向前推進(jìn)一大步。

對(duì)于Sah在圖論上取得的前沿突破，加州理工學(xué)院的David Conlon教授如此評(píng)價(jià)：

他作為本科生，已經(jīng)做了足夠勝任教職的工作。

因?yàn)檫@項(xiàng)矚目的成就，外媒Quanta Magazine近日對(duì)這位「天才少年」進(jìn)行了深度采訪。

那么他研究的“拉姆齊數(shù)”究竟是什么？在數(shù)學(xué)里又有著怎樣的重要意義？

提升拉姆齊數(shù)上限，推動(dòng)圖論前沿進(jìn)展

想知道Sah推動(dòng)的拉姆齊數(shù)研究是什么，先要了解拉姆齊定理。

關(guān)于這個(gè)定理，有一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用實(shí)例：

在6個(gè)人當(dāng)中，無(wú)論他們之間的關(guān)系如何，必定有3個(gè)人互相認(rèn)識(shí)，或者3個(gè)人互不相識(shí)。

如果用圖論的方法來(lái)思考，可以這么證明：

假設(shè)兩個(gè)人之間如果互相認(rèn)識(shí)，就用藍(lán)色線連起來(lái)，如果彼此不認(rèn)識(shí)，就用紅色線連起來(lái)，那么無(wú)論怎么連線，必然能在6個(gè)點(diǎn)中連出三邊同色的三角形。

但如果只有5個(gè)人的話，很快就能找到一種連不出同色三角形的方法。

小于5的數(shù)，也能被用同樣的方法證明不符合這一結(jié)論。

現(xiàn)在，就可以引出拉姆齊數(shù)的定義了：

找一個(gè)最小的自然數(shù)R(k,l)=n ，使得n個(gè)人中必定有k個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或l個(gè)人互不相識(shí)。

其中，n就是拉姆齊數(shù)。

也就是說(shuō)，R(3,3)=6，這里的6就是拉姆齊數(shù)。

看起來(lái)拉姆齊數(shù)似乎并不難找，但當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)稍微增加一點(diǎn)時(shí)，求解拉姆齊數(shù)的難度卻會(huì)大大增加。

1930年，拉姆齊本人求出R(3,3)=6，1995年，數(shù)學(xué)家把求解推進(jìn)到R(4,5)=25，至于R(5,5)是多少，數(shù)學(xué)家到現(xiàn)在也不知道，只知道它介于43到48之間。

這是為什么呢？

想象一下，要連線的頂點(diǎn)數(shù)從6個(gè)變成了40個(gè)，哪怕只用2種顏色隨機(jī)在兩點(diǎn)間連線，也有2780種方法。

換算下來(lái)，就是要進(jìn)行6.35×10234次連線判斷，對(duì)比宇宙中所有的粒子總數(shù)，也不過(guò)3.28×1080個(gè)。

這還只是2種顏色的情況，至于3種顏色、4種顏色……

要在這么多種連線的組合里，找到5個(gè)點(diǎn)兩兩相連是否必然存在的情況，幾乎是不可能做到的事情。

雖然無(wú)法求出拉姆齊數(shù)的準(zhǔn)確值，但是數(shù)學(xué)家們一直在想辦法限制其范圍。

對(duì)于R(5,5)來(lái)說(shuō)，其上限和下限分別就是48和43。

從1930年起，就有科學(xué)家開(kāi)始研究拉姆齊數(shù)的上下限的公式，來(lái)縮小拉姆齊數(shù)的范圍。

著名數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什研究了幾十年，得到了一個(gè)著名的上下限公式：

然而這個(gè)范圍還是不夠小。

Ashwin Sah在今年5月提出的證明方法，基于2009年Conlon的論文進(jìn)行了改進(jìn)，并提出了兩種顏色的拉姆齊數(shù)的新上限。

論文給出的推論，被許多業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為是使用現(xiàn)有研究線索可以獲得的最佳結(jié)果。

他給出的上限計(jì)算公式，對(duì)于R(4,4)以上的拉姆齊數(shù)都有效。

目前這一論文所采用的方法，已經(jīng)被少數(shù)數(shù)學(xué)家進(jìn)行了優(yōu)化。

對(duì)此，David Conlon教授表示：

他將這種方法推理到了極限。

能被開(kāi)創(chuàng)這種方法的作者給予如此高度的評(píng)價(jià)，也說(shuō)明了Sah所完成工作的難度和前沿性。

10月29日，專門針對(duì)美國(guó)、加拿大和墨西哥大學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域表現(xiàn)優(yōu)異的摩根獎(jiǎng)，授予了Sah和另外一名學(xué)生Mehtaab Sawhney，以表彰他們本科時(shí)期在離散數(shù)學(xué)、概率等領(lǐng)域作出的貢獻(xiàn)。

相較于同齡人，在本科階段就能達(dá)到這樣的數(shù)學(xué)水平，也與Sah的成長(zhǎng)經(jīng)歷密不可分。

從小展露數(shù)學(xué)光芒

除了自身的天賦外，Sah一直保持著對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神。

外媒Quantamagazine給予他這樣的評(píng)價(jià)：

A Life of Math.

這不僅僅是基于他在近期取得的成就，而是從小就與數(shù)學(xué)結(jié)下了的不解之緣。

Ashwin Sah出生在美國(guó)俄勒岡州的波特蘭市，他在回憶兒時(shí)情節(jié)時(shí)表示：

我現(xiàn)在比較印象深刻的兒時(shí)記憶，是媽媽在教我一些基本的算術(shù)。

2016年夏天，年僅16歲的他，便在香港舉辦的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）中，斬獲金牌。

可以說(shuō)，Ashwin Sah在一次次的競(jìng)賽中，「品嘗」到了高等數(shù)學(xué)的魅力。

緊接著第二年，也就是在17歲的年紀(jì)，他便順利進(jìn)入MIT。

兩年半MIT畢業(yè)，師從華裔教授趙宇飛

事實(shí)上，從2017年進(jìn)入MIT學(xué)習(xí)，到2020年本科畢業(yè)、讀上研一，Ashwin Sah也只用了兩年半的時(shí)間。

自2018年1月以來(lái)，到今年11月，算上預(yù)印本，Ashwin Sah一共發(fā)表了27篇論文。

他的本科論文已經(jīng)有引用量，最高的一篇有8人引用，這篇是關(guān)于不規(guī)則圖中獨(dú)立集的數(shù)目的。

其他兩篇引用較高的文章，雖然人數(shù)不多，但他也都是一作。

即使部分還是預(yù)印本，但本科期間就能獲得這么多的研究成果，的確不得不令人贊嘆。

除了自身的天賦與努力外，還有2位「伯樂(lè)」般的人物，對(duì)他的數(shù)學(xué)發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用。

首先是他的導(dǎo)師，MIT華裔知名數(shù)學(xué)教授趙宇飛。

在MIT的第一年，Ashwin Sah修了一門課程，是與組合數(shù)學(xué)相關(guān)的研討會(huì)。

但要知道，這門課程難度是研究生水平，而且匯集了全世界頂尖數(shù)學(xué)人才。

但即便如此，Ashwin Sah也在此脫穎而出。

作為這門課程的老師，趙宇飛這樣評(píng)價(jià)道：

盡管他只是大一的學(xué)生，但很顯然，他已經(jīng)掌握了這門課程。

第二位重要人物，是比Ashwin Sah高一年級(jí)的學(xué)長(zhǎng)，Mehtaab Sawhney。

Mehtaab Sawhney是在課堂上與Ashwin Sah相識(shí)，很快便成為了朋友。

這期間，他們共同進(jìn)行了許多研究，主要與離散數(shù)學(xué)相關(guān)，包括其中的圖論、概率和隨機(jī)矩陣等。

但當(dāng)時(shí)他們的所學(xué)知識(shí)還是有一定的局限，所以解決的問(wèn)題普遍都比較簡(jiǎn)單，是不需要多年經(jīng)驗(yàn)積累的那種。

正如Mehtaab Sawhney所說(shuō)：

我喜歡解決的問(wèn)題，是那種可以從基本原理開(kāi)始思考，而不是那些需要翻閱大量的文獻(xiàn)，或者擁有大量理論基礎(chǔ)才能思考的問(wèn)題。

趙宇飛教授也會(huì)對(duì)他們進(jìn)行指導(dǎo)，例如教他們?nèi)绾螌懻降恼撐摹?/p>

他還會(huì)「派」給他們一些特定的問(wèn)題，讓他們?nèi)プ鲅芯?，本以為?huì)讓他倆忙活一段時(shí)間。

但令趙宇飛萬(wàn)萬(wàn)沒(méi)有想到的是……往往第二天，他們就把答案給交上來(lái)了。

就是如此的動(dòng)力和效率，讓他們?cè)诙潭倘甑臅r(shí)間里，能夠完成幾十篇論文。

趙宇飛對(duì)他們的評(píng)價(jià)非常之高，認(rèn)為是他們所取得的成就是史無(wú)前例：

（MIT）的本科生研究有著悠久的歷史和傳統(tǒng)，但在論文的質(zhì)量和數(shù)量上，都達(dá)不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。

目前，這兩位小伙伴已經(jīng)步入研究生生涯，他們還是保持著高頻率的「會(huì)面」，用Sawhney的話就是：

我們每天見(jiàn)面一兩次，每次五六個(gè)小時(shí)。

即便存在疫情等客觀原因，他們還是會(huì)保持非常高頻率的信息互動(dòng)。

「羨慕有研究方向高度重合的伙伴」

對(duì)于學(xué)生的報(bào)道，MIT助理教授趙宇飛第一時(shí)間進(jìn)行了轉(zhuǎn)發(fā)，表示祝賀。

網(wǎng)友們也第一時(shí)間送上了自己的祝福，并表示這樣的故事非常激勵(lì)自己，“就像一盆冷水潑到我的臉上，提醒我繼續(xù)不斷努力?！?/p>

也有人單純對(duì)這份研究進(jìn)展感到驚喜，并引用了Paul Erdos有關(guān)拉姆齊數(shù)的表述：

如果外星人要入侵地球，除非我們能給出R(5,5)的答案，那我們就算是有最聰明的人和計(jì)算機(jī)，也得用一年時(shí)間；要是外星人要R(6,6)的答案的話，那別想了，我們主動(dòng)進(jìn)攻吧。

當(dāng)然，對(duì)于他的研究經(jīng)歷，更多的是表示羨慕的網(wǎng)友：找一個(gè)研究方向高度重合的伙伴，共同提升效率，可是件非常不容易的事情。

那么，對(duì)于Ashwin Sah的經(jīng)歷，你有什么感想？

歡迎在評(píng)論區(qū)留言~

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2005.09251

參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/mit-undergraduate-math-student-pushes-frontier-of-graph-theory-20201130/
http://www.ams.org/prizes-awards/paview.cgi?parent_id=19
http://www.mit.edu/~asah/research.html
https://yufeizhao.com/blog/