兩圓重疊問題你會求解嗎？這個問題的準確答案，德國數(shù)學(xué)家最近才找到

曉查 2020-12-13 12:59:03 來源：量子位

蕭簫 發(fā)自 凹非寺

量子位 報道 | 公眾號 QbitAI

先來看一道簡單的幾何問題：

下圖中，黑圓恰好將紅圓的面積等分，且黑圓的圓心恰好在紅圓上。假設(shè)紅圓半徑為R，黑圓半徑為r，求r。

是不是感覺已經(jīng)信手拈來，能在紙上演算一通了？

然而，就是這個看起來簡單的數(shù)學(xué)難題，讓數(shù)學(xué)家們想了幾百年，都沒能給出它的解析解。

解析解，指用精確的數(shù)學(xué)表達式寫出的方程解。有些方程難以求出解析解，只能寫出近似解。如下圖，x=cos(x)就沒有解析解，方程的解只能近似為x≈0.7390…

△x=cos(x)，x沒有解析解

這個難倒數(shù)學(xué)家的問題，叫做「山羊問題」 （goat problem），最初的問題描述是這樣的：

將一只山羊拴在面積為1英畝的圓形草地的圍欄上，請問栓多長的繩子，才能讓山羊剛好吃到半英畝的草？

問題提出后，已有數(shù)學(xué)家給出了2種求解方程。

但，僅僅是“方程”：

這個問題的精確答案，即如何準確地用圍欄半徑來表示繩子長度，卻一直懸而未解。

美國海軍學(xué)院數(shù)學(xué)家Mark Meyerson曾表示，對于這一問題，此前“沒人知道確切答案，解決方法只是大致給出的。”

直到今年，才有一位叫做Ingo Ullisch的德國數(shù)學(xué)家，給出了這個問題的解析解。

從迭代到積分，求出來的還是方程

如果用數(shù)學(xué)的語言來描述這個問題，它是這樣的：

一個半徑為R的圓A，與另一個半徑為r的圓B相交，其中圓B的圓心在圓A上，且兩個圓的相交面積為圓A面積的一半，求解r。

如果只是列出有關(guān)r的方程，目前已經(jīng)有兩種方案。

第一種方案，代入求解透鏡面積的方程。

透鏡由兩個（半徑相同或不同的）圓相交構(gòu)成，求解它的面積A，目前已有這么一個公式（其中，兩圓半徑為R和r，圓心之間的距離為d）：

顯然，「山羊問題」也能用透鏡面積方程來求解。

假設(shè)圍欄的半徑為1，那么在「山羊問題」中，求解條件將變成R=d=1，且A=1/2π，求解出來的r符合這一方程式：

這個方程需要用迭代法求解，能得到r=1.1587…的答案。

但這不是數(shù)學(xué)家想要的結(jié)果。

不愿意就此放棄的數(shù)學(xué)家們，試圖用求積分來解決這一問題，并給出了第二種方案：

這次，他們求出了左邊有r的式子，但遺憾的是，這其實是個超越方程 （指方程中有無法用自變數(shù)的多項式或開方表示的函數(shù)，類似于x=cosx）：

這些看似都能求解出r，但實際上只能算出數(shù)值解，而非解析解。

最后用上了復(fù)變函數(shù)

直到今年，一個名為Ingo Ullisch的科學(xué)家，才終于給出了問題精準的解析解。

不過，為了求解這一問題，他甚至用上了復(fù)變函數(shù)的知識，這也使得式子變得復(fù)雜不已。

但也得益于他的貢獻，這一問題自被提出以來，第一次有了解析解：

那么，這個式子是怎么被求解出來的呢？

根據(jù)Ullisch的思路，他以兩個圓的圓心與其中一個交點相連，組成了一個三角形，如下圖所示。

其中，三角形的兩個底角分別被設(shè)為α/2和β/2。

在經(jīng)過一系列復(fù)雜運算后，Ullisch將式子簡化成了下面這個方程：

求解這一方程，就能得到解析解，但會用到復(fù)變函數(shù)相關(guān)的定理。

Ullisch表示，這一問題之所以復(fù)雜，是因為問題本質(zhì)上相當(dāng)于給定了一個面積固定值，并倒推出它的輸入。

但如果想要逆轉(zhuǎn)這一過程，反向求解出輸入的定義，問題就會變得棘手。

CMU的數(shù)學(xué)教授Michael Harrison表示，這是他所知道的有關(guān)「山羊問題」的第一個明確的解析解。

“這絕對是一個進步?！?/p>

這也是山羊問題系列中，最原始、最根本，也是最難的問題之一。

有關(guān)山羊的問題，還有這么多

事實上，自1748年來，數(shù)學(xué)家們還從最原始的山羊問題中，思考出了各種問題的變體（換著花樣找難題做）。

例如，除了讓山羊在圍欄內(nèi)吃草，還讓山羊到圍欄外吃草，并計算它能吃到的最大草地面積（其中，繩索長度和圍欄周長固定）：

此外，甚至還讓羊飛上了空中，讓它在三維的世界里吃草（空間中的山羊問題）：

當(dāng)然，根本問題還是求解球的半徑r，使得兩個相交球的相交體積正好是單位球體積的一半。

不過，蘭卡斯特大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Graham Jameson表示：“三維問題實際上比二維問題更容易解決。”

數(shù)學(xué)家Fraser表示，這是因為，如果將問題放在無限的維度中，數(shù)學(xué)家們可以推論出一個更明確的答案。

例如，將這個問題放到n維空間時，F(xiàn)raser就推算出，當(dāng)n接近無窮大的時候，繩子與限定球體的半徑比接近于√2。

然而在二維世界里，這種明確的答案反而很難找。

因此，這次Ullisch求出的解析解，也是「山羊問題」系列的重大突破。

不過Ullisch也承認，這一問題的解決，并不會顛覆教科書或數(shù)學(xué)的研究，因為它只是一個孤立問題，不僅與其他問題無關(guān)，也沒有嵌入數(shù)學(xué)理論。

但數(shù)學(xué)家們?nèi)匀环浅＜印?/p>

Mark Meyerson表示：

為數(shù)學(xué)題尋找新的解法，通常是很有價值的，這些解法不僅可以再次給已解決的問題帶來新思路，還可以將之推廣到其他問題上。

數(shù)學(xué)家Harrison則認為：

雖然解決放牧山羊的問題不會取得突破性的數(shù)學(xué)成果，但數(shù)學(xué)領(lǐng)域的新方向，永遠可能來自任何地方。

而提出山羊問題超越方程的Hoffman，也有類似的看法：

并非所有的數(shù)學(xué)進步都來自于取得根本性突破的人。有時候，這種進步也包括研究經(jīng)典方法并找到新的角度，最終可能會帶來意想不到的效果。

當(dāng)然，網(wǎng)友在祝賀之余，也有表示這一問題“不太符合生活常理”的：

我認為這個問題，是沒有山羊相關(guān)的經(jīng)驗的人提出的。因為我一想到山羊，就會想到它們在拼命跳籬笆、嚼繩子……這讓我沒辦法專心解決這個問題。

山羊問題解析解論文：
https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-020-09966-0

參考鏈接：
https://news.ycombinator.com/item?id=25375575
https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-centuries-old-grazing-goat-problem-exactly-20201209/
https://en.wikipedia.org/wiki/Goat_problem#cite_note-1