黎曼猜想獲顯著突破，陶哲軒：方法巧妙且意想不到！36歲菲爾茲獎(jiǎng)得主新成果

魚羊 2024-06-05 12:59:10 來源：量子位

魚羊 發(fā)自 凹非寺

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數(shù)學(xué)“猜想界皇冠”黎曼猜想，剛剛?cè)〉萌峦黄疲?/p>

成果來自Larry Guth（拉里·古斯）和James Maynard（詹姆斯·梅納德）——

后者正是那位初出茅廬就讓陶哲軒贊不絕口，因優(yōu)化張益唐“孿生素?cái)?shù)猜想”結(jié)果一戰(zhàn)成名，并于2022年斬獲菲爾茲獎(jiǎng)的天才數(shù)學(xué)家。

陶哲軒第一時(shí)間在社交媒體上轉(zhuǎn)發(fā)了他們的新論文：

古斯和梅納德在黎曼猜想方面取得了顯著突破（盡管距離完全解決這個(gè)猜想還很遠(yuǎn)）。

他們對(duì)阿爾伯特·英厄姆在1940年給出的黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)的界進(jìn)行了首次實(shí)質(zhì)性改進(jìn)（更廣義地說，是控制各種狄利克雷級(jí)數(shù)的大值）。

實(shí)質(zhì)性改進(jìn)零點(diǎn)密度估計(jì)

論文標(biāo)題是《New large value estimates for Dirichlet polynomials》（狄利克雷多項(xiàng)式的新大值估計(jì)）。

簡(jiǎn)單來說，古斯和梅納德的新成果，就是證明了狄利克雷多項(xiàng)式取大值的頻率的新界限。

狄利克雷級(jí)數(shù)的大值問題在解析數(shù)論中有廣泛而重要的應(yīng)用。比如，黎曼ζ函數(shù)就可以表示為一個(gè)狄利克雷級(jí)數(shù)，其非平凡零點(diǎn)的分布，與ζ(s)在臨界線附近的大值密切相關(guān)。

根據(jù)陶哲軒的科普，令N(σ,T)表示實(shí)部至少為σ、虛部至多為T的黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)量。黎曼猜想告訴我們，對(duì)于任意σ>1/2，N(σ,T)都是0。

黎曼猜想目前還沒辦法無條件地證明，次優(yōu)的選擇是證明零點(diǎn)密度估計(jì)，也就是對(duì)N(σ,T)給出一個(gè)非平凡上界。這里σ=3/4是一個(gè)關(guān)鍵值。

1940年，英厄姆得到了一個(gè)界，即：

此后的八十年中，數(shù)學(xué)界一直未能對(duì)這個(gè)界限有實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)，大部分工作只是對(duì)o(1)誤差動(dòng)動(dòng)腦筋。

這就限制住了數(shù)學(xué)家們對(duì)解析數(shù)論的探索，比如，受限于英厄姆界，為了在（x,x+x^θ）形式的幾乎所有短區(qū)間內(nèi)得到一個(gè)好的素?cái)?shù)定理，長(zhǎng)期以來數(shù)學(xué)家們只能處理θ＞1/6的情況。

現(xiàn)在，古斯和梅納德成功將3/5=0.6提高到了13/25=0.52。還是拿上面這個(gè)例子來說，θ的范圍就可以從θ＞1/6=0.166…提高到θ＞2/15=0.133…（黎曼猜想下θ＞0）。

論文的論證主要基于傅里葉分析。陶哲軒指出，前幾個(gè)步驟屬于標(biāo)準(zhǔn)步驟，許多數(shù)學(xué)家包括陶哲軒自己都能想到。

但這一次古斯和梅納德做了一些“巧妙且意想不到”的選擇，包括：

• 將一個(gè)關(guān)鍵的相位矩陣 n^(it)=e^(itlogn) 提高到了6次方。
• 沒有使用平穩(wěn)相位方法來簡(jiǎn)化傅里葉積分。

他們根據(jù)狄利克雷級(jí)數(shù)的大值點(diǎn)位置，將問題分為加性能量E(W)小、中、大三種情況，并通過參數(shù)的變化來處理每種不同情況。

其中，狄利克雷級(jí)數(shù)中隱含的相位函數(shù) tlogn的精確形式變得非常重要。

這是一種出人意料的方式，利用了解析數(shù)論中出現(xiàn)的指數(shù)和的特殊性質(zhì)，而不同于人們?cè)谡{(diào)和分析中可能遇到的更一般的指數(shù)和。

菲爾茲獎(jiǎng)和數(shù)學(xué)新視野獎(jiǎng)得主們

詹姆斯·梅納德的名字，關(guān)心數(shù)論的朋友們想來都不陌生。

作為當(dāng)今數(shù)學(xué)界最閃耀的明星之一，他一路斬獲拉馬努金獎(jiǎng)、柯爾獎(jiǎng)，并在2022年獲得數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)，和2023科學(xué)突破獎(jiǎng)下的數(shù)學(xué)新視野獎(jiǎng)。

有意思的是，梅納德的成名之路與華裔數(shù)學(xué)家們的名字緊密關(guān)聯(lián)在一起。

26歲時(shí)，他提出了一個(gè)完全獨(dú)立的、比張益唐更強(qiáng)大的“孿生素?cái)?shù)猜想”結(jié)果，因此聲名鵲起。

而在此過程中，他又與陶哲軒發(fā)生了一段“惜才”美談：梅納德發(fā)表成果之前，得知大牛陶哲軒也在同一問題上，得出了基本相同的結(jié)果。但陶哲軒在看過他的證明方法之后，認(rèn)為其方法比自己的更簡(jiǎn)潔。

出于惜才之心，陶哲軒主動(dòng)放棄了和梅納德聯(lián)名發(fā)表這項(xiàng)研究的機(jī)會(huì)，以免自己的名氣掩蓋年輕數(shù)學(xué)家的成就。

梅納德的戰(zhàn)績(jī)還包括，和Dimitris Koukoulopoulos合作攻克80年數(shù)學(xué)難題Duffin-Schaeffer猜想，和Thomas Bloom合作改進(jìn)最著名的無平方差集界限等等。

目前，梅納德在牛津大學(xué)任教授。

拉里·古斯是MIT的克勞德·香農(nóng)數(shù)學(xué)教授，同樣是一位數(shù)學(xué)新視野獎(jiǎng)得主，他還獲得過塞勒姆獎(jiǎng)、克萊研究獎(jiǎng)等獎(jiǎng)項(xiàng)。

他在幾何學(xué)、調(diào)和分析、拓?fù)鋵W(xué)和組合學(xué)領(lǐng)域造詣?lì)H深。2021年當(dāng)選為美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士。

有點(diǎn)遺憾的是，拉里·古斯已經(jīng)47歲，對(duì)于菲爾茲獎(jiǎng)而言已經(jīng)“超齡”（菲爾茲獎(jiǎng)只頒發(fā)給40歲以下數(shù)學(xué)家）。

One More Thing

古斯和梅納德的新論文一經(jīng)發(fā)表，已經(jīng)引發(fā)了不少關(guān)注。

網(wǎng)友們的熱烈討論中，同樣有不少信息值得參考。

有網(wǎng)友po出了ζ函數(shù)的可視化網(wǎng)頁，可以幫助理解新論文的內(nèi)容。

而如果你對(duì)梅納德其人其研究感興趣，參考鏈接網(wǎng)友們也已總結(jié)到位了：
https://news.ycombinator.com/item?id=40571995

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2405.20552

參考鏈接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/112557249982780815
[2]https://news.ycombinator.com/item?id=40571995

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