華人數(shù)學(xué)家死磕歐拉方程10年，用計(jì)算機(jī)找到了讓它失效的“奇點(diǎn)”

夢晨 2022-11-20 14:31:55 來源：量子位

金磊 發(fā)自 凹非寺
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專研長達(dá)10年，論文足足177頁。

華人數(shù)學(xué)家通過計(jì)算機(jī)，找到了讓著名歐拉方程失效的“奇點(diǎn)”。

△圖源：Quanta Magazine

歐拉方程，是250年前（1755年）由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉提出，屬于無黏性流體動(dòng)力學(xué)中最重要的基本方程。

它可以說是“鼻祖級”的方程，正如杜克大學(xué)數(shù)學(xué)家Tarek Elgindi的評價(jià)：

幾乎所有的非線性流體方程都是從歐拉方程推導(dǎo)出來的。

即便如此，幾百年來仍有許多“未解之謎”讓數(shù)學(xué)家們困惑不已。

例如原則上，如果你已知流體中每個(gè)粒子的位置和速度，歐拉方程應(yīng)該能夠預(yù)測流體將如何一直演化下去。

但數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，歐拉方程在某個(gè)“奇點(diǎn)”上便會開始輸出沒有意義的數(shù)值，也就是無法再做精準(zhǔn)預(yù)測。

而一旦達(dá)到這個(gè)點(diǎn)，人們就認(rèn)為歐拉方程失效了，更戲劇化的說法，叫做產(chǎn)生了“爆破”（blow up）。

來自加州理工學(xué)院華人數(shù)學(xué)家Thomas Hou等人所做的研究工作，就是通過計(jì)算機(jī)對此做出了證明。

馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)家Tristan Buckmaster在看完這項(xiàng)工作后說：

這是一個(gè)驚人的結(jié)果。

此前從來沒有過。

用計(jì)算機(jī)證明歐拉方程的“爆破”

早在2013年的時(shí)候，Thomas Hou和現(xiàn)在就職于香港恒生大學(xué)的Guo Luo就提出過一個(gè)假設(shè)：

歐拉方程會導(dǎo)致一個(gè)奇點(diǎn)。

為此，他們開發(fā)了一種計(jì)算機(jī)來模擬圓柱體中的流體：

圓柱體內(nèi)的液體，上半部分是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而下半部分則是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

這兩股相反方向的水流在運(yùn)動(dòng)的過程中，產(chǎn)生了其它復(fù)雜的情況——出現(xiàn)上下循環(huán)的水流。

而在它們相遇的地方，流體的渦度（描述流體旋轉(zhuǎn)情況的流體力學(xué)概念）以極快的速度增長，似乎隨時(shí)就要“爆破”。

但他們當(dāng)時(shí)的研究只能說對于“奇點(diǎn)存在”是具備啟示性，并沒有真正意義的證據(jù)。

這是因?yàn)橛?jì)算機(jī)不可能計(jì)算出無窮大的值，它可以算出的是非常接近奇點(diǎn)的近似值，但并非是精準(zhǔn)的那種。

事實(shí)上，當(dāng)用更強(qiáng)大的計(jì)算方法探測時(shí)，明顯的奇點(diǎn)卻已經(jīng)消失了。

也正因如此，普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家Charlie Fefferman評價(jià)過去人們對這件事的研究為：

問題非常的微妙，以至于到處都是模擬研究的“殘骸”。

但Thomas Hou等人卻不為所動(dòng)，堅(jiān)持“死磕”這一難題。

終于在9年后，他和他之前的研究生Jiajie Chen成功證明了附近奇點(diǎn)的存在。

他們先是仔細(xì)分析了2013年的研究，發(fā)現(xiàn)那個(gè)近似解似乎有一個(gè)特殊的結(jié)構(gòu)：

隨著時(shí)間的推移，這些方程的解會呈現(xiàn)出一種所謂的“自相似模式”（self-similar pattern），它的形狀后來看起來很像它的早期形狀，只是以一種特定的方式重新縮放。

因此，二人認(rèn)為不需要去研究奇點(diǎn)的本身，相反，可以關(guān)注更早的時(shí)間點(diǎn)來間接對它做研究。

具體而言，就是通過正確的速率放大解的這部分（是由解的自相似結(jié)構(gòu)決定的），可以模擬之后會發(fā)生什么。

為此，他們花費(fèi)了好幾年的時(shí)間才找到了與2013年“爆破”情況類似的自我模擬方案。

然后二人需要做的工作，就是證明奇點(diǎn)附近存在一個(gè)精確的解。

從數(shù)學(xué)層面上來說，就是要證明他們找到的那個(gè)解是穩(wěn)定的，即便對它進(jìn)行擾動(dòng)，結(jié)果也能在近似解周圍小鄰域的范圍內(nèi)。

但在這個(gè)過程中，Thomas Hou發(fā)現(xiàn)，他們不得不再借助計(jì)算機(jī)的力量，因?yàn)橛刑嗟木纫_定，計(jì)算量簡直大到驚人的程度。

但也正如剛才我們提到的，計(jì)算機(jī)是無法計(jì)算無窮大的值，微小的錯(cuò)誤可以說是在所難免，因此他們也要小心地跟蹤這些錯(cuò)誤，以免影響到其它結(jié)果。

最終，在“人機(jī)結(jié)合”的方式之下，Thomas Hou和Jiajie Chen最終找到了所有項(xiàng)的邊界，并完成了證明——

歐拉方程確實(shí)會產(chǎn)生一個(gè)奇點(diǎn)。

而這次的證明過程，讓Thomas Hou感受頗深：

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)工作不再是靠紙和筆，計(jì)算機(jī)是一種更強(qiáng)大的武器。

對此，F(xiàn)efferman也補(bǔ)充道：

在我看來，如果不大量使用計(jì)算機(jī)輔助證明，就好像把（數(shù)學(xué)家）的雙手綁在背后一樣。

作者介紹

這項(xiàng)研究的作者之一是Thomas Hou，加州理工學(xué)院計(jì)算與數(shù)學(xué)科學(xué)教授，專攻數(shù)值分析和數(shù)學(xué)分析相關(guān)工作。

他本科就讀于華南理工大學(xué)，于1982年獲得學(xué)士學(xué)位；他的博士生涯是在加州大學(xué)洛杉磯分校完成。

1989年到1993年期間，他在紐約大學(xué)庫朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所任教。

自1993年至今，他便一直在加州理工學(xué)院任教。

研究的另一位作者是Jiajie Chen，目前是紐約大學(xué)的數(shù)學(xué)科學(xué)家。

他在研究生期間就證明了各種流體方程式可以“爆破”。

論文地址：

https://arxiv.org/abs/2210.07191

參考鏈接：

[1]https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/
[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou